Здравствуйте, Кочанов Алексей Вячеславович!

Предлагаю Вам решения задач III и V.

Ниже приведен рисунок к задаче V.


С уважением.

Здравствуйте, Кочанов Алексей Вячеславович!
Решение задачи I:
1. Вычисляем определитель системы методом разложения по первой строке
[$916$]=1*(2+6)-2*(4+6)+3*(6-3)=-3
Так как определить отличен от нуля, система имеет ровно одно решение
2. 1). Метод Гаусса. Вычитаем из второй строки первую, умноженную на два, а из третьей строки - первую, умноженную на три
x+2y+3z=4
-3y-8z=-5
-3y-7z=-2
Вычитаем из последней строки предпоследнюю
x+2y+3z=4
-3y-8z=-5
z=3
Получили треугольную систему, решаем ее с конца. Из последнего уравнения следует, что z=3. Из предпоследнего находим y=(5-8z)/3=-19/3. Наконец, из первого уравнения находим x=4-2y-3z=23/3
Решение системы:
x=23/3
y=-19/3
z=3
2). Формулы Крамера. Вычисляем вспомогательные определители
[$916$]_x=
4 2 3
3 1 -2 =
10 3 2
=4*(2+6)-2*(6+20)+3*(9-10)=-23

[$916$]_y=
1 4 3
2 3 -2 =
3 10 2
=1*(6+20)-4*(4+6)+3*(20-9)=19

[$916$]_z=
1 2 4
2 1 3 =
3 3 10
=1*(10-9)-2*(20-9)+4*(6-3)=-9

По формулам Крамера
x=[$916$]_x/[$916$]=23/3
y=[$916$]_y/[$916$]=-19/3
x=[$916$]_z/[$916$]=3

Здравствуйте, Кочанов Алексей Вячеславович!
1. Решение на совместность можно выдать только зная ранг матрицы и расширенный ранг матрицы.
Найдем таковые.
Исходная матрица имеет вид:

1 2 3 4
2 1 -2 3
3 3 2 10


Найдем ранг матрицы

вычтем 1-ую строку из остальных строк так, что бы в 1-ом столбце все элементы ниже обратились в 0, домножая на 2, 3, соответсвенно

1 2 3 4
0 -3 -8 -5
0 -3 -7 -2


вычтем 2-ую строку из остальных строк так, что бы в 2-ом столбце все элементы ниже обратились в 0, домножая на 1, соответсвенно

1 2 3 4
0 -3 -8 -5
0 0 1 3


Так как количество нулевых строк равно 0, а общее количество строк равно 3, то ранг матрицы равен:
rang[a]=rang|A/b|=3-0=3 Система совместна и имеет 1 единственное решение.
гаусом составляем новую систему
x+2y+3z=4
-3y-8z=-5
z=3
из этой системы следует, подставляем с низу в верх переменные. -3y-24=-5 => y=-19/3
отсюда x-2*19/3+9=4=> x=23/3
крамер
Главный определитель
Δ=
1 2 3
2 1 -2
3 3 2
=-3


1-ый определитель, для вычисления X1Δ1=
4 2 3
3 1 -2
10 3 2
=-23


2-ый определитель, для вычисления X2Δ2=
1 4 3
2 3 -2
3 10 2
=19


3-ый определитель, для вычисления
X3Δ3= -9
1 2 4
2 1 3
3 3 10
=-9


Данная система имеет следующее решение:

X1=Δ1/Δ =23/3
X2=Δ2/Δ =-19/3
X3=Δ3/Δ =3

4. можно воспользоваться http://piramida.91i.ru/ для проверки своих ответов.
Сначала помогу только с объемом.
Объем пирамиды находим как матрицу составленную из сторон(векторов) AB,AC,AD
сабж сами стороны.
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}={-1, -2, 5}
Длина ребра АВ=5.477225575051661

Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={-3, 0, 0}
Длина ребра ВC=3

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}={-4, -2, 5}
Длина ребра АC=6.708203932499369

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}={1, -3, -2}
Длина ребра АD=3.7416573867739413

Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={2, -1, -7}
Длина ребра BD=7.3484692283495345

Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={5, -1, -7}
Длина ребра CD=8.660254037844387

Нам нужны AB= {-1, -2, 5}, AC= {-4, -2, 5}, AD={1, -3, -2}
составляем и находим определитель матрицы:
Исходная матрица имеет вид:

-1 -2 5
1 -3 -2
-4 -2 5
решим треугольником.
(-1)*(-3)*5+1*(-2)*5+(-2)*(-2)*(-4)-(5)*(-3)*(-4)-1*(-2)*5-(-2)*(-2)*(-1)=-57

Площадь пирамиды равна этот определитель/6 и это равно -57/6=-9.5 => раз минус выбрали не ту тройку векторов, меняем местами 1 и вторую строку. Получаем 57/6=9.5