Здравствуйте, Ankden!
Применяя метод ортогонализации несложно найти ортогональный базис пространства линейных функций A: e₁=2t-1, e₂=1. Квадраты их норм равны соответственно 1/3 и 1. В соответствии теорией рядов Фурье по ортогональным системам находим проекцию элемента f(t)=t^1/n на подпространство A: e=a*e₁)+b*e₂), где
a=(f,e₁)/||e₁||²=3n/((2n+1)(n+1))
b=(f,e₂)/||e₂||²=n/(n+1)
Квадрат нормы проекции (по обобщенной теореме Пифагора)
||e||²=a²||e₁||²+b²||e₂||²=4n²(n²+n+1)/((2n+1)²(n+1)²)
Далее, по теореме Пифагора находим расстояние d_n:
d_n²=||f||²-||e||²=n(n-1)²/((n+2)(n+1)²(2n+1)²).

Теперь исследуем последовательность d_n или, лучше d_n². Порядок числителя равен 3, а порядок знаменателя равен 5. Отсюда следует, что
lim(d_n)=0

Очевидно, что все d_n[$8805$]0, причем d₁=0. Отсюда находим
Inf(d_n)=0

Сложнее всего с точной верхней гранью. Вычисляя нервые члены последовательности, получаем
d₂²=1/450
d₃²=3/980
d₄²=2/675
d₅²=20/7623
d₆²=75/33124
d₇²=7/3600
d₈²=196/117045
Отсюда видно, что d_n растет до d₄, а потом начинает убывать. Возникает предположение, что d₄ и есть наибольший член последовательности. Доказать это можно используя средства дифференциального исчисления. Для этого вместо последовательности рассмотрим функцию непрерывной переменной
F(x)=x(x-1)²/((x+2)(x+1)²(2x+1)²)
Достаточно доказать, что F(x) убывает при x[$8805$]4. Так как
F'(x)=[-8x⁷+4x⁶+64x⁵+26x⁴-48x³-52x²-8x+2]/[...]²
где многоточием обозначен знаменатель, то в свою очередь достаточно установить, что функция
g(x)=-8x⁷+4x⁶+64x⁵+26x⁴-48x³-52x²-8x+2
отрицательна при x[$8805$]4.
Далее вычисляем производные:
g'(x)=-52x⁶+24x⁵+320x⁴+104x³-144x²-104x-8
g''(x)=-336x⁵=120x⁴+1280x³+312x-288x-104
g'''(x)=-1680x⁴+480x³+3840x²+624x-288
g''''(x)=-6720x³+1440x²+7680x+624
g'''''(x)=-20160x²+2880x+7680
g''''''(x)=-40320x+2880
Очевидно, что g''''''(x)<0 при x[$8805$]1
g'''''(1)=-20160+2880+7680=-9600<0 и убывает при x[$8805$]1 так как g''''''(x)<0. Следовательно, g'''''(x)<0 x[$8805$]1.
Вычисляем далее g''''(2)=-32016<0 при этом g'''''(x)<0 при x[$8805$]2. Следовательно, g''''(x)<0 x[$8805$]2.
Вычисляем далее g'''(2)=-6720<0 при этом g''''(x)<0 при x[$8805$]2. Следовательно, g'''(x)<0 x[$8805$]2.
Вычисляем далее g''(3)=-35528<0 при этом g'''(x)<0 при x[$8805$]3. Следовательно, g''(x)<0 x[$8805$]3.
Вычисляем далее g'(3)=-7880<0 при этом g''(x)<0 при x[$8805$]3. Следовательно, g'(x)<0 x[$8805$]3.
Наконец вычисляем g(4)=-46430<0 при этом g'(x)<0 при x[$8805$]4. Следовательно, g(x)<0 x[$8805$]4.
Это доказывает наше предположение. Таким образом
Sup(d_n)=d₄=[$8730$]2/675