Пусть два шара опираются на основание цилиндра, контактируя с цилиндром и между собой без зазора. Тогда их радиусы равны r = 1/4 = 0,25 (больше не получается никак). Положим на эти шары третий шар так, чтобы он контактировал с первыми двумя. Тогда центры шаров расположатся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 0,5 и высотой h = a√3/2 ≈ 0,433013. Расстояние между основанием цилиндра и плоскостью, проведённой касательно к третьему шару и параллельно основанию цилиндра, составит приблизительно 0,433013 + 0,5 = 0,933013 < 1.

Оказывается,такое покрытие квадрата тремя кругами не является зкономным, т. е. можно квадрат можно покрыть кругами с бОльшим радиусом r.

Модератор+
• сегодня, 07:32 :: Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор) редактировать | удалить | пейджер | цитировать

Ладно, про 0,2588 я загнул
радиус получается 0,5/(1+cos15°)=0.25433
Если рассмотреть квадрат со стороной D-2r, в котором должны располагаться центры кругов, то в него равносторонний треугольник, образованный центрами шаров, вписывается так: помещаем 1 вершину в угол квадрата, биссектрисы углов совпадают. В результате 2 стороны треугольника образуют со сторонами квадрата углы 45-30=15°

© Цитата: Roman Chaplinsky / Химик CH
И потом, их центры не обязательно должны образовывать равносторонний треугольник - иногда выгоднее равнобедренный с углом при вершине большим чем 60°
© Цитата: Гордиенко Андрей Владимирович
В каком случае выгоднее?

Если сечение, в котором расположены центры шаров, достаточно вытянуто. Например, если удлинять при постоянной ширине прямоугольник, то 3 наибольших круга, увеличиваясь, будут смещаться, пока 2 из них не окажутся в углах, прилегающих к одной стороне при третьем круге, прикасающемся к противоположной стороне (отношение сторон 2/(1+cos30)=1.0718). При дальнейшем увеличении длины прямоугольника шары, находящиеся в углах, перестанут соприкасаться.

Мои мысли шли в сторону рассмотрения сечений области, в которой могут располагаться центры (цилиндр D-2r). Подозреваю, что копать надо в сторону усечённых эллипсов

Надо теперь проверить, действительно ли при r [$8776$] 0,25433 достигается наиболее экономное покрытие квадрата, а затем приступить к исследованию покрытий эллипсов и их частей...

Гордиенко Андрей Владимирович:
Да, буду начинать с 0.25 и дальше искать шары, сначала второй, потом - третий, такие, чтобы касались друг друга (т.е. расстояние между центрами 2r) и поверхности цилиндра. И ищем, пока не просмотрим все

lamed:
Я не совсем понимаю, о какой картинке Вы пишете, но это не важно. Необходимо найти такой радиус круга, чтобы три круга этого радиуса, будучи уложенными в сечение заданного в условии задачи цилиндра, обеспечивали наиболее экономное покрытие этого сечения, т. е.:
1) эти круги имеют один и тот же радиус;
2) не выходят за пределы сечения, которое они покрывают;
3) не пересекаются друг c другом;
4) имеют наибольший из возможных радиус.

То есть пространственную задачу мы свели к плоской и пытаемся найти её решение... А задача-то для 11-го класса школы углублённым изучением математики!

Гордиенко Андрей Владимирович:
Картинка в Вашем посте от 13:55. Задачу я не забыл Все-таки плоская - это в плоскости основания или ..?

lamed:
Это просто иллюстрация к покрытию одного из сечений заданного цилиндра. Данное покрытие не является амым экономным для цилиндра и нужно только для того, что при реализации вычислительного процесса перебора от чего-то отталкиваться.

Актуально теперь установить, как экономно покрыть квадрат, как экономно покрыть эллипс, как экономно покрыть полуэллипс...

Посмотрите, кстати, выше на предлагаемый мной план решения этой задачи.

Лысков Игорь Витальевич:
Да, кажется. Для круга и квадрата решение легко находится и интуитивно. Для эллиптических сечений сложнее.

В принципе, вместо пространственной задачи можно решить путём перебора несколько плоских. Думаю, среди эллиптических сечений достаточно рассмотреть только два: с максимальным эллипсом и максимальным полуэллипсом. Вы ведь представляете, о чём идёт речь? Большая ось AB максимального эллипса равна диагонали квадрата со стороной D - 2r, большая полуось CB максимального полуэллипса равна диагонали прямоугольника со сторонами (D - 2r)/2 и D - 2r. Малые оси в обоих случаях равны D - 2r. На всякий случай привожу рисунок, на котором изображена фронтальная проекция "производящего" цилиндра.



Аналитическое решение этих двух сечений просматривается. И если нет необходимости в доказательствах, то задача практически решена.

Понижаю статус сообщения, чтобы дать возможность автору вопроса прочитать его. Она совсем не интересуется своим вопросом, несмотря на то, что задала его и в Решебник. Может быть, ей никакого ответа в Решебник не давать? В назидание.

Лысков Игорь Витальевич:
Я ей написал про мини-форум в этом вопросе. Ноль внимания. Понимаю, конечно, что политика Портала требует внимательного отношения от нас с Вами к посетителям. Но, знаете, неприятно встречать такое безразличие с их стороны. Мне те 100 с небольшим рублей, которые я получу, если дам решение в Решебник, никакой выгоды не принесут. Тем более, что живя в Беларуси, использовать всё, что есть у меня на счету на Портале, крайне проблематично.

Кстати, например, при рассмотрении максимального эллипса нет необходимости укладывать в него равносторонний треугольник. По-моему, достаточно разнести точки на максимальное расстояние друг от друга. Поместив одну точку в начало малой оси, две другие поместим в концы большой оси...

Пока я только-только собираюсь засесть за выкладки.

Уважаемые коллеги! Предлагаю обсудить...

Обозначим искомый радиус шара через r, диаметр заданного цилиндра – через D. Тогда центры шаров будут располагаться внутри равностороннего цилиндра с диаметром, равным D – 2r, и такой же высотой. Назовём такой цилиндр цилиндром центров. Отметим, что размеры цилиндра центров не фиксированы, а зависят от радиуса шаров. Рассмотрим несколько сечений этого цилиндра плоскостями.

1. Сечением цилиндра центров плоскостью, перпендикулярной к его оси, является окружность с диаметром, равным D – 2r. Интуиция подсказывает, что при плотной упаковке шаров их центры будут находиться в вершинах равностороннего треугольника . В итоге задача сводится к нахождению стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность с радиусом, равным (D – 2r)/2 = D/2 – r. Искомый радиус равен половине этой стороны, и, согласно условию, D = 1.

Известно, что для равностороннего треугольника со стороной, равной a, радиус R описанной окружности определяется по формуле R = a/√3. В нашем случае R = 1/2 – r, a = 2r. Следовательно, 1/2 – r = 2r/√3,
2r/√3 + r = 1/2, r(1 + 2/√3) = 1/2, r = 1/2 : (1 + 2/√3) = 1/2 • (√3 + 2)/√3 = √3/(2(√3 + 2)) = √3(2 – √3)/2 ≈ 0,23205. Полученный результат можно рассматривать как частный случай решения задачи о наиболее экономном заполнении круга k одинаковыми кругами при k = 3; об этом результате указано, в частности, в [1, с.108].

На рис. 1 ниже приведено сечение заданного цилиндра (не цилиндра центров!) плоскостью, перпендикулярной к его оси (нормальное сечение). Радиусы заштрихованных кругов равны r = √3(2 – √3)/2, диаметр большого круга равен D. Центры заштрихованных кругов лежат на окружности с диаметром, равным D – 2r = 1 – √3(2 – √3).


Рис. 1

Значение r₁ ≈ 0,23205 является первой оценкой искомого радиуса шара. Очевидно, что эта оценка не даёт ответа на вопрос задачи.

2. Осевое сечение цилиндра центров (сечение, проходящее через его ось) представляет собой квадрат со сторонами, равными D – 2r = 1 – 2r. Расположив центры шаров в трёх вершинах квадрата, получаем
1 – 2r = 2r (расстояние между центрами двух одинаковых шаров равно их диаметру), 4r = 1, r = 1/4 = 0,25000. Принимая
r₂ = 0,25000, видим, что r₂ > r₁. Но и эта оценка не даёт ответа на поставленный вопрос.

Установим, при каком положении равностороннего треугольника внутри квадрата площадь треугольника будет наибольшей. Для этого привлечём на помощь интуицию. Она подсказывает, что одну из вершин треугольника необходимо поместить в вершину квадрата так, чтобы высота треугольника, проведённая из этой вершины, совпала с диагональю квадрата. Выполним рис. 2.


Рис. 2

Из рисунка видно, что D – 2r = 2r • cos φ, φ = 45º – 60º/2 = 15º, cos 15º = (√3 + 1)/(2√2) [2, с. 107];
1 – 2r = 2r(√3 + 1)/(2√2), 2r(√3 + 1)/(2√2) + 2r = 1, 2r((√3 + 1)/(2√2) + 1) = 1, r = 1/(2((√3 + 1)/(2√2) + 1)) =
= 1/((√3 + 1)/√2 + 2) = √2/(2√2 + √3 + 1) ≈ 0,25433. Получили оценку r₃ ≈ 0,25433 > r₂.

3. Рассмотрим сечение цилиндра центров плоскостью P_α (рис. 3).


Рис. 3

Это сечение представляет собой эллипс, малая ось которого равна D – 2r, а большая равна √2(D – 2r). Соответственно малая полуось равна (D – 2r)/2, а большая (D – 2r)/√2. Поместим центр одного шара в начале малой оси, а центры двух других шаров по концам большой оси. Тогда квадрат минимального расстояния между шарами (первым и вторым, первым и третьим) равен 4r² = (D – 2r)²/4 + (D – 2r)²/2, откуда находим 4r² = (1 – 2r)²/4 + (1 – 2r)²/2 = 3(1 – 2r)²/4, 2r = √3(1 – 2r)/2 = √3/2 – r√3, r(2 + √3) = √3/2,
r = √3/(2(2 + √3)) = √3(2 – √3)/2 = (2√3 – 3)/2 ≈ 0,23205. Вновь получили оценку r₄ = r₁ ≈ 0,23205.

Если поместить центры шаров вдоль большой оси эллипса, то получаем следующий результат:
4r = √2(D – 2r), 4r = √2(1 – 2r) = √2 – 2√2r, r(4 + 2√2) = √2, r = √2/(4 + 2√2) = 1/(2(√2 + 1)) = (√2 – 1)/2 ≈ 0,20711, то есть самую малую оценку из всех полученных, r₅ ≈ 0,20711 < r₁.

Есть основания предположить, что на этом можно остановиться, и оценка r₃ ≈ 0,25433 даёт ответ на поставленный вопрос. Обоснованием служит сравнение площадей сечений заданного цилиндра, соответствующих рассмотренным сечениям цилиндра центров. Имеем следующее:
1) в сечении круг с диаметром D = 1 и с площадью S₁ = π/4 ≈ 0,785; для него r = r₁ ≈ 0,23205;
2) в сечении квадрат со стороной D = 1 и с площадью S₂ = 1; для него r = r₃ ≈ 0,25433;
3) в сечении эллипс с полуосями a = 1/2, b = 1/√2 и с площадью S₃ = π/(2√2) ≈ 1,111; для него r = r₁ ≈ 0,23205.
Как видим, наибольший простор для размещения шаров предоставляет квадратное сечение заданного цилиндра. Несмотря на то, что эллипс имеет в данном случае бОльшую площадь (S₃ > S₂), радиус шаров для эллипса получается меньшим, чем для квадрата.

Если рассмотреть ещё, например, сечение цилиндра центров плоскостью P_β (рис. 4), то ему будет соответствовать сечение заданного цилиндра, представляющее собой половину эллипса, причём малая ось его равна D (соответственно, малая полуось равна D/2 = 1/2), а большая полуось равна √(D2/4 + D2) = D√3/2 = √3/2. Следовательно, площадь такого сечения равна S₄ = 1/2 • π • 1/2 • √3/2 = π√3/8 ≈ 0,680 < S₃ = 1,111 и S₄ < S₂.

Поэтому дальнейшего рассмотрения сечений заданного эллипса можно не проводить.


Рис. 4

В итоге получаем r = 0,25433.

Литература
1. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1974.
2. Цыпкин А. Г., Цыпкин Г. Г. Математические формулы. М.: Наука, 1985.

Никто не имеет замечаний?

С уважением.

Roman Chaplinsky / Химик CH:

А с шарами в цилиндре должны существовать и более плотные укладки, чем с центрами всех шаров в одной вертикальной плоскости

Не смог обнаружить таких укладок. Возможно, для доказательства потребуется привлечь некие тонкие соображения. Например, из комбинаторной геометрии. Есть у Вас какие-нибудь соображения? Всё-таки задача для 11-го класса школы.

при размещении 3 кругов в квадрате, их диаметр несколько превышает половину стороны

Здесь Вы, конечно, правы. А я погорячился. Извиняюсь...

Гордиенко Андрей Владимирович:
Ещё раз рассмотрим расположение центров шаров в цилиндре центров. при расположении их в вертикальной плоскости получаем ситуацию, когда точка 3 расположена в плоскости основания, но не на его краю. Теперь сдвинем эту точку из плоскости сечения перпендикулярно этому сечению - расстояния от точки 3 до точек 1 и 2 увеличиваются! Теперь немного поднимем точку 2 (так, чтобы расстояние до точки 3 осталось больше исходного) - и увеличим расстояние 1-2. Треугольник увеличивается!

В том-то и дело, что это расположение не является максимально плотным. Следовательно, все 3 точки должны принадлежать боковой поверхности цилиндра центров, при этом 2 из них принадлежат основаниям. В противном случае такие манипуляции по разрастанию треугольника будут очень легко осуществимы

Вы имеете в виду наклонное сечение эллипса (бочкообразное сечение), не так ли? Я понимаю Вашу мысль...

Хочу спросить, есть ли у Вас идея, каким способом исследовать такие сечения? Сейчас я приступлю к оцениванию диаметров шаров с точки зрения комбинаторной геометрии. Не знаю, чем это закончится. Приведут ли к успеху методы вариационного исчисления? При всём этом задача - для школы, пусть и с углублённым изучением математики. Вряд ли там проходят вариационное исчисление и комбинаторную геометрию...

Гордиенко Андрей Владимирович:
Доброй ночи, Андрей Владимирович!
Вот получается так. Хотя, возможно, в расчетах ошибся.
1. Два шара лежат на основаниях, по одной стенке, третий - на центральном сечении, по противоположной стенке (если можно так выразиться применительно к цилиндру).
2. С одной стороны, треугольник центров равнобедренный, большая сторона 1-D, высота к ней также 1-D. Каждая из маленьких сторон, по теореме Пифагора = √((1-D)^2+(1-D)^2/4)=(1-D)/2*√5
3. С другой стороны, маленькая сторона не может превышать диаметра
(1-D)/2*√5=D
4. Выполним нужные преобразования
2*D=(1-D)*√5
D(2+√5)=√5
D=√5/(√5+2)=√5*(√5-2)/*(√5+2)*(√5-2))=√5*(√5-2)/(5-4)=5-2√5
R=5/2-√5=2.5-2,236067=0,263932=0,26393

lamed:
Но ведь 1 - D < (1-D)/2*√5. И Вы определили не меньшую, а бОльшую сторону...

Гордиенко Андрей Владимирович:
Да уже сам догадался, пришлось подъем устроить.

Roman Chaplinsky / Химик CH:
Я прихожу к выводу, что задача решается аналитически с использованием законов гомотетии и подобия, а также свойств цилиндрических сечений...

Из переписки с автором вопроса я узнал, что задача взята из учебника по геометрии для 11-го класса для школ с углублённым изучением математики авторов Александрова, Вернера, Рыжика. Она имеет номер, по-моему, IV-20 или VI-20. В Минске в продаже этого учебника нет, в библиотеке БНТУ тоже нет, а идти в Национальную библиотеку мне не захотелось (хотя, возможно, придётся). Не могли бы Вы посмотреть этот учебник и узнать, к какой теме задача относится и какие рекомендации даются по её решению? Я не хочу Вас сильно затруднять...

Сам учебник вместе со своими предшественниками для младших классов меня заинтересовал, поэтому хотел бы узнать у Вас, могу ли я перечислить на Ваш счёт на Портале определённую сумму, чтобы Вы выслали мне их заказной бандеролью (это на будущее)?

Гордиенко Андрей Владимирович:
"Небольшой набросок" 180288.doc (29.0 кб)
r - радиус цилиндра центров
H=2r - высота цилиндра центров
R - радиус шара
A и B - центры шаров, соприкасающихся с основаниями цилиндра
[$966$] - угол меду направлениями (по перпендикуляру) от оси цилиндра к точкам A и B
FC[$8869$]AB

С остальным без чертежа не разобраться (завтра попробую внятно нарисовать).
Надеюсь, ничего не напутал (на всякий случай надо перепроверить выкладки).
Ещё непонятно, почему производная FC[sup]2[/sup] по косинусу [$968$] нигде не выдала минимумов при cos[$968$]=[$177$]1
Ошибка: ОНО ВЫДАЛО МИНИМУМ НЕВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВМЕСТО МАКСИМУМА ищу источник глюка

Если предположить, что максимальный радиус достигается когда все шары касаются
цилиндрической поверхности и центр среднего шар лежит на половинной высоте, то
возможно аналитическое решение:

Если кому-то интересно могу написать как его получить.

Небольшие пояснения к предыдущему сообщению.
Решение ищется в виде трёх точек - центров шаров, которые имеют полярные координаты (угол, расстояние, высота):
1) (0, a/2 - r, a/2)
2) ([$966$], a/2 - r, r)
3) (-[$966$], a/2 - r, a - r)
Здесь a = 1 - высота и диаметр цилиндра, r - искомый радиус шаров.
Угол [$966$] = arccos((1-[$8730$]21)/4)
r = a*(t - 2*[$8730$]t)/(2*t - 8), здесь t = 3 - (1 - [$8730$]21)/2

coremaster1:
Да, укажите, пожалуйста, если не трудно, на рисунке, как расположено такое сечение. Я не понимаю Вашу систему координат.

Гордиенко Андрей Владимирович:
Попробовал нарисовать, не уверен, что понятно получилось: URL >>
Центры шаров отмечены жирными точками. Они изображены на горизонтальных сечениях цилиндра.
Так как мы полагаем, что все шары касаются вертикальной стенки, то проще представить некий внутренний цилиндр высотой и диаметром a - 2r, в этом случае центры шаров будут лежать на поверхности этого цилиндра, я попытался его изобразить внизу слева.

coremaster1:
Браво! Мне нравится полученный Вами результат. Осталось только вывести аналитическое выражение для расстояния между указанными Вами точками "бочкообразного" сечения цилиндра и исследовав его, убедиться в том, что оно действительно является максимальным.

Кто берётся вывести такое выражение? Или мне сделать это самому?

coremaster1:
Если Вы составили программу расчёта на языке C, то она и является решением задачи. Поэтому Вы вправе дать ответ в Решебник, приведя текст программы, дав необходимые комментарии. Будете отвечать?

Аналитическое решение, если я его подготовлю, не будет строгим, несмотря на моё желание чётко обосновать его. Для меня составляет проблему доказать тот или иной факт в общем случае. Приходится привлекать соображения из областей, которые не затрагиваются в школе, а потом искать более простые способы обоснования. Это утомляет...

coremaster1:
А если Вы ещё и аналитическое обоснование приведёте, то и все карты в руки Вам. Итак, давайте своё решение в Решебник! Можете предварительно показать его в этом мини-форуме. Думаю, никто не будет оспаривать у Вас право первенства.

Гордиенко Андрей Владимирович:
Ну с первенством я думаю мы припоздали на пару-тройку веков
Я постараюсь оформить решение в течение 2-3 дней, и выложу в этом мини-форуме.

coremaster1:
Спасибо! Дело в том, что пробуя рассматривать различные сечения аналитическими способами, я столкнулся с громоздкими уравнениями, от которых сильно устал уже. Например, пробуя найти максимальное значение радиуса шара в эллиптическом сечнии, получил для аргумента, в котором радиус экстремален, выражение опять-таки через радиус.

Поэтому решил сбавить обороты и успокоиться. Жаль, конечно, но...

А что касается Вашего высказывания

Ну с первенством я думаю мы припоздали на пару-тройку веков

то я в этом не уверен. Мне, например, не доводилось встречать аналитическое решение этой задачи, хотя в литературу по математике заглядываю.

coremaster1:
К сожалению, упустили из вида, что время жизни задачи истекает в 7:30.
Если задача закроется, то все усилия насмарку (останется только "спортивный интерес" )
Я попросил администрацию продлить на 3 суток. Боюсь только, как бы не было поздно...
Но все же будем надеяться на лучшее

coremaster1:
Все хорошо. У Вас есть три дня...

coremaster1:
Обязательно уточните, чему равно минимальное расстояние между точками в приведенном Вами примере. Ведь максимальный радиус шара равен половине максимального расстояния между центрами шаров среди всех минимальных.

Выкладываю обещанное решение:
Текст
Рисунок