Здравствуйте, xenitron.
№1
y/y'=lny
ydx=lnydy
dx=((lny)/y)*dy
lny=z=>dz=dy/y
dx=zdz
?dx=(1/2)*?2zdz
x+C=(z^2)
x+C=(lny)^2
Решение получилось для х , но его можно легко переформировать в решение для у или даже константы С .
Теперь можно решить задачу Коши : у(2)=1 .
2+С=(ln1)^2=0=>C=-2
(lny)^2=x-2=>lny=sqrt(x-2)=>y=exp(sqrt(x-2))
exp - число е в степени ...
Ответ : y=exp(sqrt(x-2)) .

№2
x*sqrt(1+(y^2))*dx+y*sqrt(1+(x^2))*dy=0
x*sqrt(1+(y^2))*dx=-y*sqrt(1+(x^2))*dy
(1/2)*(2x/sqrt(1+(x^2)))*dx=-(1/2)*(2y/sqrt(1+(y^2)))*dy
?d(1+(x^2))/sqrt(1+(x^2))=-?d(1+(y^2))/sqrt(1+(y^2))
2*sqrt(1+(x^2))=2*C-2*sqrt(1+(y^2))
sqrt(1+(x^2))+sqrt(1+(y^2))=C
Тут было оптимально выразить решение для постояяной С .

№3
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
y'=sin(x-y)-sin(x+y)=sinxcosy-sinycosx-sinxcosy-sinycosx=-2cosxsiny
dy/dx=-2*cosx*siny
?dy/siny=-2*?cosxdx
tg(y/2)=t , dy=2*dt/(1+(t^2)) , siny=2*t/(1+(t^2)) - Это такая замена для у ...
?dy/siny=?[2*(1+(t^2))*dt]/[2*t*(1+(t^2))]=?dt/t=-2*?cosxdx
ln|t/2|=ln|(tg(y/2))/2|=C-2sinx
ln|(tg(y/2))/2|+2sinx=C
Тут тоже удобнее всего выразить решение через постоянную С .

№4
[dx/(x*(y-1))]+[dy/(y*(x+2))]=0 , y(1)=1
dx/(x*(y-1))=-dy/(y*(x+2))
?[(x+2)/x)]*dx=-?[(y-1)/y]*dy
x+2*lnx=C-y+lny
x+y+2*lnx-lny=C
Решаем задачу Коши : у(1)=1 .
1+1+2*ln1-ln1=C=>C=2
Ответ : x+y+2*lnx-lny=2 .

Все задания вобщем-то элементарные , но трбует знания некоторых тонкостей из других разделов высшей математики . Прошу прощения за возможные опечатки .

Здравствуйте, xenitron.
1) y/y'=ln(y) [$8594$] ln(y)*y'/y=1 [$8594$] (dy/dx)*ln(y)/y=1 [$8594$] ln(y)*dy/y=dx [$8594$] ln(y)*d(ln(y))=dx [$8594$] 1/2*(ln(y))²=x+C, при y(2)=1 получаем 0=2+C, С=-2 [$8594$] y(x)=exp([$177$][$8730$](2*(x-2))).
2) уравнение с разделяющимися переменными (можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью интегрирующего множителя - см. далее); для начала, т.к. 1+y²[$8800$]0 и 1+x²[$8800$]0 при любом x, y, умножим исходное уравнение на 1/(([$8730$](1+x²))([$8730$](1+y²))) [$8594$] x*dx/[$8730$](1+x²)+y*dy/[$8730$](1+y²)=0 [$8594$] d([$8730$](1+x²))+d([$8730$](1+y²))=0 [$8594$] [$8730$](1+y²)=C-[$8730$](1+x²) [$8594$] y(x)=[$177$][$8730$]((C-[$8730$](1+x²))²-1).
3) y'+sin(x+y)=sin(x-y) [$8594$] y'=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)-sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y) [$8594$] dy/sin(y)=-2cos(x)dx {dy/sin(y)=sin(y)dy/sin²(y)=-d(cos(y))/(1-cos²(y))=[t=cos(y)]=dt/(t²-1)=d(1/2*ln((t-1)/(t+1)))} 1/2*ln((cos(y)-1)/(cos(y)+1))+2*sin(x)=C.
4) уравнение с разделяющимися переменными: dx/(x*(y-1))+dy/(y*(x+2))=0 [$8594$] (y-1)dy/y=-(x+2)dx/x [$8594$] y-ln(y)=C-(x+2*ln(x)) при y(1)=1 получаем 1=C-1, C=2 [$8594$] y-ln(y)+(x+ln(x²))=2.