Здравствуйте, xenitron. Первый Закон токов Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю (или сумма втекающих токов равна сумме вытекающих, это легче представить). Зададим предполагаемые направления токов красными стрелками на рисунке 1. Там же зададим предполагаемые векторы напряжений зелёными стрелками. Если при каких-то значениях заданных величин в результате решения получатся отрицательные значения токов или напряжений, значит, фактическое направление будет обратным предполагаемому (то есть, ошибка в предполагаемом направлении не повлечёт ошибку в решении задачи).

Для уменьшения количества неизвестных и уравнений в системе заменим параллельно-соединённые резисторы R3 и R4 их эквивалентным резистором R34=R3*R4/(R3+R4)
[size=1]Когда задача с эквивалентным резистором будет решена, то токи через R3 и R4 можно будет легко вычислить, как U3/R3 и U3/R4 соответственно[/size].

Составим формулы для 3х узлов (левый, правый, нижний):
I1=I2+I34 , I34=I5+J , I1=I2+I5+J
Последнее уравнение надо отбросить, так как оно - следствие двух первых (не новая связка величин, а избыточный повтор).

Второй Закон напряжений Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Надо стремиться, чтобы в каждый новый контур, для которого составляем уравнение, входила хотя бы 1 новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Выбор направлений векторов на данном этапе уже не произвольный, направление вектора падения напряжения не резисторе должно быть обратным направлению тока ч-з этот резистор. Связываем левый и средний контуры (где имеются источники ЭДС): E1=U1+U2 , E2=U5-U2+U3
Чтобы задача была решаемой, надо, чтобы количество неизвестных не превышало числа неповторяющихся уравнений. Уменьшим число неизвестных применением закона Ома:
U1=I1*R1 , U2=I2*R2 , U3=I34*R34 , U5=I5*R5

Теперь уравнения по 2-му закону будут выглядеть так:
E1=I1*R1+I2*R2
E2=I5*R5-I2*R2+I34*R34
Итого, 4 уравнения (выделены жирным) и 4 неизвестных (токи). Система готова к решению.

Здравствуйте, xenitron.
Даю ответ в прикреплённом файле.