Здравствуйте, Лорян Рафаэль Вазгенович.
Условие f(x)[$8712$]L₁(E,[$956$]) с помощью соответствующей нормы можно записать как [$8747$]|f(x)|d[$956$]<[$8734$].
Нужно показать, что [$8747$]|f(x)|d[$956$]<[$8734$][$8596$][$8721$](n=0,[$8734$])n*[$956$]({x:n[$8804$]f(x)<(n+1)})<[$8734$].
Для этого надо воспользоваться следующим свойством: для любой f(x)[$8712$]L₁(E,[$956$]) и произвольно малого [$945$]>0 существует такая простая суммируемая функция [$966$](x), что [$8747$]|f(x)-[$966$](x)|d[$956$]<[$945$].
Далее, поскольку для простой суммируемой функции, принимающего значения [$966$]₀, [$966$]₁, ... на множествах E₀, E₁, ... интеграл можно определить как [$8721$](n=0,[$8734$])[$966$]_n*[$956$](E_n). Выберем множества E_n={x:n[$8804$]f(x)<(n+1)} и простую суммируемую функцию со значениями [$966$]_n =n на них.
Таким образом, доказано, что [$8747$]|f(x)|d[$956$][$8596$][$8721$](n=0,[$8734$])n*[$956$]({x:n[$8804$]f(x)<(n+1)}). А так как f(x)[$8712$]L₁(E,[$956$]) тогда и только тогда, когда [$8747$]|f(x)|d[$956$]<[$8734$] (т.е. интеграл по Лебегу абсолютно сходится), то считаем доказанным и исходное утверждение.