Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 177890
17.04.2010, 14:46
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Добрго времени суток дорогие эксперты!

Хочу задать вам несколько задачек:
Даны множества А{1,3,5,7}; B{2,3,6,7};C{4,5,6,7}
1). Написать выражение 1 над множеств А, В и С, определяющее Множество D{4,5,6} и не содержащее операции разности мно-жеств.

2)Используя свойства операций над множествами, преобразовать выражение 1 в выражение 2, не содержащее операции дополнения множества.

3)Используя свойства операций над множествами, преобразовать выражение 2 в выражение 3, не содержащее операции объединения множеств

4). Используя свойства операций над множествами, преобразовать выражение 3 в выражение 4, не содержащее операции пересечения множеств

5)Доказать тождественность выражений 2 и 3 методом характери-стических функций.

6). Доказать тождественность выражений 2 и 4 методом логических функций

7)Доказать тождественность выражений 3 и 4 теоретико-множест-венным методом. Для автоматизации доказательства написать программу, в которой вычисляются и сравниваются значения выражений 3 и 4 при А={1,3,5,7}, B={2,3,6,7} и C={4,5,6,7}.

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18353
18.04.2010, 14:42
общий
это ответ
Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич.

Не берусь за полное решение приведенной Вами задачи, но поделюсь некоторыми соображениями по его ходу. Имеем
У = A U B U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – универсальное множество данной задачи;
¬C = У\C = {1, 2, 3} – дополнение множества C (до универсального множества);
A ∩ B ∩ C = {7} – пересечение множеств A, B, C.

Нетрудно видеть, что
D = {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\({1, 2, 3} U {7}) = (A U B U C)\(¬C U (A ∩ B ∩ C)),
то есть
D = (A U B U C)\(¬C U (A ∩ B ∩ C)). (*)

Выражение (*) определяет множество D как разность универсального множества и множества, являющегося объединением дополнения множества C и пересечений множеств A, B, C. В силу определения операции дополнения можно записать
D = ¬(¬C U (A ∩ B ∩ C)). (**)

Выражение (**) является выражением, которое содержит операции дополнения, объединения и пересечения множеств A, B, C и не содержит операции разности множеств. Его можно упростить. Например, так:
¬(¬C U (A ∩ B ∩ C)) = ¬¬C ∩ ¬(A ∩ B ∩ C) = C ∩ ¬(A ∩ B ∩ C) = C ∩ ¬(C ∩ (A ∩ B)) =
= C ∩ (¬C U ¬(A ∩ B)) = C ∩ (¬C U (¬A U ¬B)) = (C ∩ ¬C) U (C ∩ (¬A U ¬B)) =
= Ø U (C ∩ (¬A U ¬B)) = C ∩ (¬A U ¬B) = (C ∩ ¬A) U (C ∩ ¬B).
Итак,
D = (C ∩ ¬A) U (C ∩ ¬B). (***)

Выражение (***) можно рассматривать как выражение, которое требуется найти в пункте 1 задания. Проверим его правильность. В нашем случае
¬A = {2, 4, 6},
¬B = {1, 4, 5},
C ∩ ¬A = {4, 5, 6, 7} ∩ {2, 4, 6} = {4, 6},
C ∩ ¬B = {4, 5, 6, 7} ∩ {1, 4, 5} = {4, 5},
(C ∩ ¬A) U (C ∩ ¬B) = {4, 6} U {4, 5} = {4, 5, 6} = D,
как и должно быть.

Не вдаваясь в детальные рассуждения, заметим, что одновременно избавиться как от операции разности множеств, так и от операции дополнения множеств не удается. Поэтому пункту 2 задания удовлетворяет выражение (*) после подстановки в него выражения ¬C = (A U B U C)\C, то есть
D = (A U B U C)\(((A U B U C)\C) U (A ∩ B ∩ C)). (****)

Но выполнять какие-либо преобразования выражения (****) неудобно, потому что в своей записи свойства операций над множествами не содержат операции разности, но содержат операцию дополнения. Поэтому, чтобы не вводить Вас в заблуждение, на этом останавливаюсь…

Вообще, задача весьма громоздка и представляется недостаточно продуманной в части своего условия. Что касается пункта 7, то написание программы вообще не является предметом рассмотрения дискретной математики.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа