Здравствуйте, Владимир Ульянов.
1) Мера Лебега этого множества равна 0. Это доказывается, как и мера рациональных чисел.
Сначала рассмотрим доказательство для меры рациональных чисел на прямой.
Мера множества равна 0, если его можно покрыть системой интервалов суммарной длиной не больше е при любом положительном e.
Рассмотрим конечные множества A
n, n=1, 2, ... , где через A
n обозначено множество рациональных чисел из отрезка [0;1], представимых в виде дроби m/n для некоторого целого m. Конечное множество точек можно покрыть системой интервалов сколь угодно малой длины. Поэтому мы можем покрыть множество A
1 интервалами суммарной длины (1/2)*e, множество A
2 - интервалами суммарной длины (1/4)*e, и т.д. , множество A
k - интервалами суммарной длины (1/2
k)*e.
Таким образом, все рациональные числа оказываются покрытыми системой интервалов, суммарная длина которых не больше, чем (1/2)*e+(1/4)*e+...+(1/2)
k*e+... = e.
Мера множества на всей плоскости вычисляется как ряд из суммы мер пересечений множества с единичными квадратами E
nm={n<x[$8804$]n+1,m<y[$8804$]m+1}. Докажем, что на единичном квадрате мера множества равна 0. Возьмем квадрат E
00.
Для каждого рационального числа построим прямоугольник со стороной как интервал в предыдущем случае. Прямоугольник [r-e/2,r+e/2][0,1] имеет площадь e и покрывает все точки, в которых одна координата равна r, а другая - любое иррациональное число в отрезке [0,1]. Сумма площадей этих прямоугольников равна суммарной длине интервалов, ее можно сделать как угодно малой. Значит, мера пересечения множества с E
nm равна 0. Вся плоскость - объединение счетного количества таких квадратов, объединение счетного количества множеств с мерой 0 есть тоже 0.
На 2) и 3) есть готовые ответы
викибук4)
Фихтенгольц