Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 177621
03.04.2010, 01:31
0.00 руб.
0 13 1
Образование
Здравствуйте уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Около сферы описан параллелепипед. Доказать, что площади всех его граней равны.

Обсуждение

Неизвестный
03.04.2010, 08:48
общий
09.04.2010, 12:37
это ответ
Здравствуйте, STASSY.

Пусть дана сфера, около которой описан параллелепипед.



(на рис. под №1)
1) Построим ромб, у которого противоположные стороны лежат на параллельных плоскостях, которым принадлежат
параллельные грани параллелепипеда,
причем пересечение плоскости и данной сферы проходит через центр сферы и образует окружность,
принадлежащей данной плоскости; и две оставшиеся, противоположные
стороны ромба, на данной плоскости, причем соприкасаются каждая из сторон только в одной точке с окружностью
Т.е. плоскость пересекает как сферу так и грани, причем грани в точке соприкосновения со сферой.
Так что около получившейся окружности описан ромб, стороны которого
лежат на гранях параллелепипеда, но не принадлежат им полностью.
Причем высота ромба будет равна двойному радиусу сферы 2R


(на рис. под №2)
2) Построим ромб, такой что плоскость, которой он принадлежит, параллельна 2 оставшимся граням параллелепипеда,
и стороны ромба принадлежат другим 4 граням параллелепипеда.
Так как для параллельных плоскостей, которым принадлежат рассмотренные выше параллельные грани параллелепипеда, -
центр сферы - центр симметрии двух данных плоскостей (центральная симметрия). То ромб из пункта 1 можно привести
к ромбу в данном пункте 2, поворотом на угол альфа и бета и растяжением, выбрав центр сферы - центром координат и учитывая, что центр
сферы - центр симметрии двух данных плоскостей.

(на рис. под №3)
3) Получившийся ромб является тождественно равным параллельным граням параллелепипеда.

Проекция сферы на плоскость, которой принадлежит ромб из пункта 4 - не обязательно окружность (эллипс).

Далее поочередно рассмотрим пункты 1,2,3 относительно других граней, выбирая каждый раз грань, у которой
ребро принадлежит грани из предыдущего шага (причем углы альфа и бета в пункте 2 равны, следует из
свойства параллельности граней параллелепипеда).
После рассмотрения 6 граней, получаем, что все ребра одинаковой длины.
Так как противоположные грани параллелепипеда параллельны, получаем что грани параллелепипеда
- ромбы, у которых высоты данных ромбов одинаковы (см. пункт 2). Т.е. все грани параллелепипеда -
ромбы с одинаковой длиной сторон и высотой.
Таким образом площади всех его граней равны. Что и требовалось доказать.

Неизвестный
03.04.2010, 14:13
общий
Здравствуйте, Павел Шведенко.
А как быть с тем, что параллелепипед не прямоугольный. Ведь тогда при ортогональном проецировании окружности не будут вписанными в грани.
Неизвестный
05.04.2010, 09:15
общий
STASSY:
Так как грань параллелепипеда - это параллелограмм.
И противоположные грани параллелепипеда лежат на параллельных плоскостях.
Пронумеруем грани параллелепипеда от 1 до 6.
Фронт - 1, Тыл - 3, Низ - 2, Верх - 4, слева - 5, справа - 6.
Грани 1 и 3 равны, и покрывают часть сферы ,из свойств параллелепипеда.
Не нарушая общности условий и свойств Евклидовых пространств, повернем сферу внутри параллелепипеда на 90 градусов относительно оси Х.
Грани 1 и 3 равны, и покрывают другую часть сферы.
Продолжим поворачивать сферу до тех пор пока вся поверхность не будет закрыта гранями 1 и 3, на каждом из участков.
Так как поворот сферы не нарушал общности первоначальных условий.
Таким образом в ходе поворота сферы, каждая грань 2,3,4,5,6 поочередно становилась тождественно равна грани 1.
От куда следует, что все грани одинаковы, если нет то сфера не может быть вписана в параллелепипед, так как при одном из
шагов поворота сфера будет выходить за какую либо грань, либо не соприкасаться с ней.
Так все грани одинаковые параллелограммы, то площади граней равны. ЧТД.
Неизвестный
05.04.2010, 12:33
общий
STASSY:
Рисунок - приложение.



2 версия с рисунком. Так как грань параллелепипеда - это параллелограмм.
И противоположные грани параллелепипеда лежат на параллельных плоскостях.
На Рисунок под № 1
Рассмотрим параллелепипед со сферой в новых координатах, таких что одна из граней параллельна плоскости Z'OY', преобразования
поворот и смещение, которые не искривляют расстояния м/у "точками" тел.
На Рисунок под № 2
Рассмотрим верхнюю грань
Из свойство параллелепипеда, противоположные стороны грани параллелепипеда равны и параллельны.
На Рисунок под № 3
Соответствующие ребра параллелепипеда равны, из свойств параллелепипеда
На Рисунок под № 4
Так как новые координаты выбирали производно, не нарушая общности,
то грань на рисунке под № 3 выберем не верхнюю а слева. Причем три ребра сходящие в одной точке, имеют равную длину.
Таким образом каждая грань параллелепипеда - это ромб. Так у ромба все стороны равны и из свойств параллелепипеда и свойств сферы, следует равенство длин диагоналей ромбов, разных граней параллелепипеда. Таким образом все грани одинаковые, значит площади всех граней равны
Неизвестный
06.04.2010, 08:15
общий
STASSY:
Вписанный многогранник понятие Среди многогранников есть такие, около которых можно описать сферу. Все вершины этих многогранников лежат на некоторой сфере, или, что то же самое, существует точка, равноудаленная от всех его вершин. В этом случае многогранник называют вписанным, а сферу --- описанной около многогранника. Известно, что любая треугольная пирамида, любая правильная пирамида, любая правильная усеченная пирамида и любая правильная призма --- вписанные многогранники. Известно также, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность, т.е. основание пирамиды --- вписанный многоугольник. Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда ее основание --- вписанный многоугольник. В частности, около параллелепипеда можно описать сферу в том и только в том случае, когда он прямоугольный; центр этой сферы --- точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Около усеченной пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда ее основания --- (подобные) вписанные многоугольники и отрезок, соединяющий центры (их) описанных окружностей, перпендикулярен их плоскостям.
из Сфера и многогранники

[b]Так как параллелепипед прямоугольный, то[/b]

Для решения задачи достаточно рассмотреть 3 ортогональные проекции сферы на соответствующие плоскости. Рассмотрим любую проекцию из данных 3. Данная проекция представляет окружность с радиусом R1, причем две другие проекции представляют также окружности, радиус которых R2,R3 соответственно. Так как расстояние от центра сферы до ограничивающей поверхности везде тождественно равно R, то R1=R, R2=R, R3=R, по свойству транзитивности евклидовых пространств R1=R2=R3, Таким образом каждое ребро параллелепипеда равно 2R, откуда следует, что все грани представляет собой равно-тождественные квадраты. Таким образом площади всех граней равны.
Неизвестный
07.04.2010, 14:12
общий
В задаче параллелепипед описан около сферы.
Цитата: "В частности, около параллелепипеда можно описать сферу в том и только в том случае, когда он прямоугольный."
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
07.04.2010, 14:29
общий
Павел Шведенко:
Справедливое замечание: описанные сферы тут явно не по делу...
Вы уж определитесь...
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Неизвестный
07.04.2010, 16:55
общий
STASSY:
В задаче параллелепипед описан около сферы.

Да, невнимательно посмотрел , завтра с утра напишу корректное доказательство

Исходя из

Параллелепипед. В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание - ромб, причём высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность)
из Пособие для учителя - Комбинации с многогранником и шаром

Неизвестный
07.04.2010, 16:57
общий
STASSY:
Прошу прощения, не успею, 8 часов осталось - до закрытия
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
07.04.2010, 17:10
общий
Павел Шведенко:
Не вопрос, добавил 2 суток. Хватит?
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Неизвестный
08.04.2010, 08:43
общий
Лысков Игорь Витальевич:
Вполне хватит.
Неизвестный
09.04.2010, 11:42
общий
STASSY:
Пусть дана сфера, около которой описан параллелепипед.



(на рис. под №1)
1) Построим ромб, у которого противоположные стороны лежат на параллельных плоскостях, которым принадлежат
параллельные грани параллелепипеда,
причем пересечение плоскости и данной сферы проходит через центр сферы и образует окружность,
принадлежащей данной плоскости; и две оставшиеся, противоположные
стороны ромба, на данной плоскости, причем соприкасаются каждая из сторон только в одной точке с окружностью
Т.е. плоскость пересекает как сферу так и грани, причем грани в точке соприкосновения со сферой.
Так что около получившейся окружности описан ромб, стороны которого
лежат на гранях параллелепипеда, но не принадлежат им полностью.
Причем высота ромба будет равна двойному радиусу сферы 2R


(на рис. под №2)
2) Построим ромб, такой что плоскость, которой он принадлежит, параллельна 2 оставшимся граням параллелепипеда,
и стороны ромба принадлежат другим 4 граням параллелепипеда.
Так как для параллельных плоскостей, которым принадлежат рассмотренные выше параллельные грани параллелепипеда, -
центр сферы - центр симметрии двух данных плоскостей (центральная симметрия). То ромб из пункта 1 можно привести
к ромбу в данном пункте 2, поворотом на угол альфа и бета и растяжением, выбрав центр сферы - центром координат и учитывая, что центр
сферы - центр симметрии двух данных плоскостей.

(на рис. под №3)
3) Получившийся ромб является тождественно равным параллельным граням параллелепипеда.

Проекция сферы на плоскость, которой принадлежит ромб из пункта 4 - не обязательно окружность (эллипс).

Далее поочередно рассмотрим пункты 1,2,3 относительно других граней, выбирая каждый раз грань, у которой
ребро принадлежит грани из предыдущего шага (причем углы альфа и бета в пункте 2 равны, следует из
свойства параллельности граней параллелепипеда).
После рассмотрения 6 граней, получаем, что все ребра одинаковой длины.
Так как противоположные грани параллелепипеда параллельны, получаем что грани параллелепипеда
- ромбы, у которых высоты данных ромбов одинаковы (см. пункт 2). Т.е. все грани параллелепипеда -
ромбы с одинаковой длиной сторон и высотой.
Таким образом площади всех его граней равны. Что и требовалось доказать.


давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
09.04.2010, 12:38
общий
Павел Шведенко:
Ответ подправил.
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Форма ответа