Здравствуйте, Schuldig.
Линии y = arcsin(x) и y = п*x/2 пресекаются в двух точках: x=0 и x=1.

Поэтому искомый объем
V=п*|[$8747$]₀¹(arcsin²(x) - (п*x/2)²)dx| = п*|[$8747$]₀¹(arcsin²(x)dx - п²/12)|.

Найдем интеграл
[$8747$]₀¹(arcsin²(x))dx = {arcsin(x) = u [$8658$] x = sin(u), dx = cos(u)du} = [$8747$]₀^п/2(u²*dsin(u)) = u²*sin(u)|₀^п/2 + 2*[$8747$]₀^п/2(u*dcos(u)) = п²/4 + 2*(u*cos(u)|₀^п/2 - [$8747$]₀^п/2(cos(u)*du)) =п²/4 - 2*sin(u)|₀^п/2 = п²/4 - 2.

Следовательно,
V = п*|п²/4 - 2 - п²/12| = п*|п²/6 - 2| = 2п-п³/6.

Здравствуйте, Schuldig.

Если нужно вычислить объем тела вращения вокруг оси Oy, то делать нужно не так, как в первом ответе.
Считаем независимой переменной y. Тогда y = arcsin x превращается в x=sin y, а y = pi*x/2 в x=2y/pi и интегрировать нужно
не по переменной x от 0 до 1, а по переменной y от 0 до pi/2:
V=pi[$8747$]₀^pi/2(sin²y-4y²/pi²)dy

[$8747$]₀^pi/2sin²ydy=0.5[$8747$]₀^pi/2(1-cos2y)dy=
0.5[y-0.5sin2y]₀^pi/2=pi/4

[$8747$]₀^pi/2y²dy=(y³/3)₀^pi/2=pi³/24

Объем
V=pi[pi/4-pi/6]=pi²/12