Здравствуйте, Dedyshka.

Функция f(x, y) = y' является однородной, так как:

f(x, y) = y' = (xy + y²) / (2x² + xy)

f(a*x, a*y) = (a*x*a*y + (a*x)²) / (2*(a*x)² + a*x*a*y) = (xy + y²) / (2x² + xy) = f(x, y), где а = const

Значит данное диф. уравнение - однородное

Тогда пусть y = u(x)*x

y' = (u*x)' = u'*x + u*(x)' = u'*x + u*1 = u'*x + u

(xy + y²) / (2x² + xy) = (x*u*x + (u*x)²) / (2x² + x*u*x) = (u + u²) / (2 + u)

[$8658$] u'*x + u = (u + u²) / (2 + u)

u'*x = [ (u + u²) / (2 + u) ] - u = (u + u² - 2u - u²) / (2 + u) = - u / (u + 2)

[$8658$] u'*x = - u / (u + 2)

Данное диф. уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

x * (du/dx) = - u / (u + 2)

[ (u + 2) * du ] / u = - dx

Интегрируем это уравнение:

[$8747$] [ (u + 2) * du ] / u = - [$8747$] dx

[$8747$] [ (u + 2) * du ] / u = [$8747$] [1 + (2/u)] * du = u + 2*ln|u| + C₁, где C₁ = const

- [$8747$] dx = - x + C₂, где C₂ = const

[$8658$] u + 2*ln|u| + C₁ = - x + C₂, где C₁, C₂ = const

u + 2*ln|u| + x = C, где C = C₂ - C₁ = const

Так как u = y / x, то:

(y / x) + x + 2*ln|y / x| = C, где C = const

- общий интеграл исходного диф. уравнения

Ответ: общий интеграл исходного диф. уравнения имеет вид: (y / x) + x + 2*ln|y / x| = C, где C = const