Здравствуйте, Север Дмитрий Иванович.

Задача 1

1. Матричное уравнение имеет вид:

A * X = B

где:

......(2 3 1)
А = (4 -1 0)
......(0 1 2)

......(9 8 7)
В = (2 7 3)
......(4 3 5)

*** здесь я имел ввиду матрицы А и В, дополнительные точки вписал для удобства представления

Тогда, домножая левые и правые части уравнения "слева" на матрицу А^-1, обратную к матрице А (учтите, что при перемножение матриц не обладает коммутативностью, то есть А*В [$8800$] В*А), получим:

A^-1 * A * X = A^-1 * B

Так как: A^-1 * A * X = E * X = X, где Е - единичная матрица

[$8658$] X = A^-1 * B

2. Вычисляем обратную матрицу

а) Детерминант матрицы А

...........|2 3 1|
| А | = |4 -1 0| = 2*(- 1)*2 + 3*0*0 + 4*1*1 - 0*(- 1)*1 - 1*0*2 - 4*3*2 = - 4 + 4 - 24 = - 24
...........|0 1 2|

б) Вычисляем алгебраические дополнения к матрице А

А₁₁ = (- 1)¹⁺¹ * (^-1₁ ⁰₂) = (- 1)*2 - 1*0 = - 2

А₁₂ = (- 1)¹⁺² * (⁴₀ ⁰₂) = - [4*2 - 0*0] = - 8

А₁₃ = (- 1)¹⁺³ * (⁴₀ ^-1₁) = 4*1 - (- 1)*0 = 4

А₂₁ = (- 1)²⁺¹ * (³₁ ¹₂) = - [3*2 - 1*1] = - 5

А₂₂ = (- 1)²⁺² * (²₀ ¹₂) = 2*2 - 1*0 = 4

А₂₃ = (- 1)²⁺³ * (²₀ ³₁) = - [2*1 - 0*3] = - 2

А₃₁ = (- 1)³⁺¹ * (³_-1 ¹₀) = 3*0 - (- 1)*1 = 1

А₃₂ = (- 1)³⁺² * (²₄ ¹₀) = - [2*0 - 4*1] = 4

А₃₃ = (- 1)³⁺³ * (²₄ ³_-1) = 2*(- 1) - 3*4 = - 14

в) вычисляем саму обратную матрицу по формуле:

.........................( A₁₁ A₂₁ A₃₁)
A^-1 = (1 / |A|) * ( A₁₂ A₂₂ A₃₂) =
..........................( A₁₃ A₂₃ A₃₃)

........................( -2 -5 1)......( (1/12)....(5/24)....(-1/24) )
= (1 / (- 24)) * ( -8 4 4...) = ( (1/3).......(-1/6)......(-1/6) )
........................( 4 -2 -14)....( (-1/6).....(1/12).....(7/12) )

3. Вычисляем искомую матрицу Х

X = A^-1 * B =

....( (1/12)....(5/24)....(-1/24) )....(9 8 7)....( (1/12)*9 + (5/24)*2 + (-1/24)*4.... (1/12)*8 + (5/24)*7 + (-1/24)*3..... (1/12)*7 + (5/24)*3 + (-1/24)*5)
= ( (1/3).......(-1/6)......(-1/6) ) * (2 7 3) = ( (1/3)*9 + (-1/6)*2 + (-1/6)*4......... (1/3)*8 + (-1/6)*7 + (-1/6)*3.......... (1/3)*7 + (-1/6)*3 + (-1/6)*5.....) =
...( (-1/6).....(1/12).....(7/12) ).....(4 3 5)....((-1/6)*9 + (1/12)*2 + (7/12)*4....... (-1/6)*8 + (1/12)*7 + (7/12)*3....../. (-1/6)*7 + (1/12)*3 + (7/12)*5..)

...(1 2 1)
= (2 1 1)
...(1 1 2)


Задача 2

1. Система уравнений имеет вид:

5x + 8y - z = - 7
x + 2y + 3z = 1
2x - 3y + 2z = 9

Или в матричной форме:

А * Х = В, где

......(5 8 -1)
A = ( 1 2 3)
......(2 -3 2)

......(x)
X = (y)
......(z)

......(-7)
B = ( 1)
......( 9)

Тогда, аналогично, домножая левые и правые части уравнения "слева" на матрицу А^-1, обратную к матрице А, получим:

A^-1 * A * X = A^-1 * B

Так как: A^-1 * A * X = E * X = X, где Е - единичная матрица

[$8658$] X = A^-1 * B

2. Вычисляем обратную матрицу

а) Детерминант матрицы А

...........|5 8 -1|
| А | = | 1 2 3| = 5*2*2 + 8*3*2 + 1*(- 3)*(- 1) - 2*2*(- 1) - 1*8*2 - (- 3)*3*5 = 20 + 48 + 3 + 4 - 16 + 45 = 104
...........|2 -3 2|

б) Вычисляем алгебраические дополнения к матрице А

А₁₁ = (- 1)¹⁺¹ * (²_-3 ³₂) = 2*2 - (- 3)*3 = 13

А₁₂ = (- 1)¹⁺² * (¹₂ ³₂) = - [1*2 - 2*3] = 4

А₁₃ = (- 1)¹⁺³ * (¹₂ ²_-3) = 1*(- 3) - 2*2 = - 7

А₂₁ = (- 1)²⁺¹ * (⁸_-3 ^-1₂) = - [8*2 - (- 3)*(- 1)] = - 13

А₂₂ = (- 1)²⁺² * (⁵₂ ^-1₂) = 5*2 - 2*(- 1) = 12

А₂₃ = (- 1)²⁺³ * (⁵₂ ⁸_-3) = - [5*(- 3) - 2*8] = 31

А₃₁ = (- 1)³⁺¹ * (⁸₂ ^-1₃) = 8*3 - 2*(-1) = 26

А₃₂ = (- 1)³⁺² * (⁵₁ ^-1₃) = - [5*3 - 1*(- 1)] = - 16

А₃₃ = (- 1)³⁺³ * (⁵₁ ⁸₂) = 5*2 - 1*8 = 2

в) вычисляем саму обратную матрицу по формуле:

.........................( A₁₁ A₂₁ A₃₁)
A^-1 = (1 / |A|) * ( A₁₂ A₂₂ A₃₂) =
..........................( A₁₃ A₂₃ A₃₃)

.....................( 13.. -13....26)....( (1/8)......(-1/8).........(1/4) )
= (1 / 104) * ( 4......12.. -16) = ( (1/26)....(3/26).....(-2/13) )
.....................( -7.....31..... 2)....( (-7/104).(31/104)..(1/52) )

3. Вычисляем искомый вектор Х

X = A^-1 * B =

...( (1/8)......(-1/8).........(1/4) )....(-7)....( (1/8)*(-7) + (-1/8)*1 + (1/4)*9 )...........)
= ( (1/26)....(3/26).....(-2/13) ) * ( 1) = ( (1/26)*(- 7) + (3/26)*1 + (-2/13)*9......) =
...( (-7/104).(31/104)..(1/52) )....( 9)....( (-7/104)*(- 7) + (31/104)*1 + (1/52)*9 )

...( 5/4.......)
= ( - 20/13)
...( 49/52..)

Или: x = (5/4), y = - (20/13), z = (49/52)