Здравствуйте, Попов Антон Андреевич.



1. Находим стационарные точки функции (то есть проверяем необходимое условие существования экстремума).

Вычисляем частные производные функции первого порядка.

dz/dx = z'_x = (x² + xy)'_x = 2x + y

dz/dy = z'_y = (x² + xy)'_y = x

Необходимое условие существования экстремума, это система уравнений:

{dz/dx = 0
{dz/dy = 0

Получим:

{ 2x + y = 0
{ x = 0

Решая эту систему, получим точку А(0, 0)

2. Замкнутая область D определяет множество точек, ограниченных прямоугольником - 1 <= x <= 1 и 0 <= y <= 3, и точек на сторонах прямоугольника

Саму область D можно увидеть тут

Точка А(0, 0) принадлежит данной области, а именно является серединой нижней сороны.

3. Определяем характер точки А(0, 0)

Вычисляем частные производные функции второго порядка.

d²z/dx² = (dz/dx)'_x = (2x + y)'_x = 2

d²z/dy² = (dz/dy)'_y = (x)'_y = 0

d²z/(dxdy) = (dz/dx)'_y = (dz/dy)'_x = (2x + y)'_y = 1

В точке А(0, 0):

d²z/dx² = 2, d²z/dy² = 0, d²z/(dxdy) = 1

[$8658$] [d²z/dx²]*[d²z/dy²] - [d²z/(dxdy)]² = 2*0 - 1² = - 1 < 0

Следовательно, точка А(0, 0) не является точкой локального экстремума.

4. Проверяем на границах области

а) на нижней стороне прямоугольника

Эту область можно задать так: y = 0, - 1 <= x <= 1. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от х, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.

z(x, 0) = x² + xy = / y = 0 / = x² = z₁(x)

Тогда:

z'₁(x) = 2x

z'₁(x) = 0 при х = 0. Это необходимое условие экстремума

Точка х = 0 принадлежит отрезку - 1 <= x <= 1

z''₁(x) = 2

При х = 0 z''₁(x) = 2 > 0. Это достаточное условие экстремума

Следовательно, точка х = 0 является точкой локального минимума функции z₁(x) и z₁(0) = 0

Переходя к исходной функции, получим опять же точку А(0, 0) и значение исходной функции в этой точке равно z(0, 0) = 0

б) на верхней стороне прямоугольника

Эту область можно задать так: y = 3, - 1 <= x <= 1. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от х, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.

z(x, 3) = x² + xy = / y = 3 / = x² + 3x = z₂(x)

Тогда:

z'₂(x) = 2x + 3

z'₂(x) = 0 при х = - (3/2). Это необходимое условие экстремума

Точка х = - (3/2) не принадлежит отрезку - 1 <= x <= 1, поэтому далее этот случай не рассматриваем.

в) на левой стороне прямоугольника

Эту область можно задать так: х = - 1, 0 <= у <= 3. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от у, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.

z(- 1, y) = x² + xy = / x = - 1 / = 1 - y = z₃(y)

Тогда:

z'₃(y) = - 1

z'₁(y) [$8800$] 0 ни при каком действительном х. То есть экстремема функция z₃(y) не имеет (функция убывающая на всей действительной оси), поэтому далее этот случай не рассматриваем.

г) на правой стороне прямоугольника

Эту область можно задать так: х = 1, 0 <= у <= 3. Тогда исходная функция в этом случае зависит только от одной переменной, а, именно, от у, поэтому в этом случае рассматриваем данную функцию как функцию от одной переменной.

z(1, y) = x² + xy = / x = 1 / = 1 + y = z₄(y)

Тогда:

z'₄(y) = 1

z'₄(y) [$8800$] 0 ни при каком действительном х. То есть экстремема функция z₄(y) не имеет (функция возрастающая на всей действительной оси), поэтому далее этот случай не рассматриваем.

5. В итоге получим пять "подозрительных" точек, в которых функция может принимать максимальное и минимальное значение в области D. Это точки:

- точка А(0, 0), как экстремум функции на нижней границе области;

- вершины прямоугольника, точки B₁(-1, 0), B₂(-1, 3), B₃(1, 0) и B₄(1, 3)

В точке А(0, 0): z(0, 0) = 0

В точке B₁(-1, 0): z(-1, 0) = (- 1)² + (- 1)*0 = 1

В точке B₂(-1, 3): z(-1, 3) = (- 1)² + (- 1)*3 = - 2

В точке B₃(1, 0): z(1, 0) = 1² + 1*0 = 1

В точке B₄(1, 3): z(1, 3) = 1² + 1*3 = 4


Следовательно, функция принимает свое минимальное значение в точке B₂(-1, 3) и z_min = - 2, функция принимает свое максимальное значение в точке B₄(1, 3) и z_max = 4