Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.
Задача 1Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n), этот отрезок взят в качестве основания равнобедренного треугольника, с углом при основании равным (п/(2n)). Необходимо вычислить сумму длин боковых сторон этого треугольника.
Здесь EF = (a/n), [$8736$] E = [$8736$] F = (п/(2n)). Опускаем из вершины С высоту на основание EF, это высота CD, она также является медианой (и биссектрисой), так как треугольник EFC равнобедренный и EF - основание. Тогда ED = EF/2 = (a/(2n)). Из треугольника EDC легко находится EC, так как треугольник EDC прямоугольный:
EC = ED/cos([$8736$]E) = (a/(2n)) / cos(п/(2n)) = a / [2n*cos(п/(2n))]
Тогда, так как треугольник EFС равнобедренный, то:
EС + FС = 2*EС = a / [n*cos(п/(2n))]
Значит длина ломаной, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна:
L
n = (EC + FC)*n = 2*EC*n = a / [cos(п/(2n))]
При n -> [$8734$] длина ломаной стремится к L, и L равно:
L = lim{n -> [$8734$]} L
n = lim{n -> [$8734$]} {a / [cos(п/(2n))]} = / при n -> [$8734$] (п/(2n)) -> 0 и cos(п/(2n)) -> cos(0) = 1 / = a
Ответ: L = a
P.S. Очевидно, если бы угол был равен [$946$], то предел длины бы равнялся (a/cos([$946$]))
Задача 2Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n) и дуга EF, дуга EF является дугой окружности с центром в точке С радиуса R, и угол [$8736$]ECF равен [$946$] = (п/n). Длина дуги равна:
s = [$8736$]ECF*R = R*[$946$] = R*(п/n)
Требуется вычислить радиус окружности.
Опускаем из точки С высоту на сторону EF. Треугольник EFC - равнобедренный, так как FC = EC = R. Значит высота CD одновременно является и биссектрисой угла [$8736$]ECF и медианой. Значит ED = EF/2 = (a/(2n)) и [$8736$]DCE = (1/2)*[$8736$]ECF = ([$946$]/2) = (п/(2n)). Треугольник EDC прямоугольный, значит:
R = EC = ED/sin([$8736$]DCE) = (a/(2n)) / sin([$946$]/2) = a / [2n*sin([$946$]/2)] = a / [2n*sin(п/(2n))]
Тогда длина дуги равна:
s = R*[$946$] = [a*[$946$]] / [2n*sin([$946$]/2)] = [a*п] / [2n
2*sin(п/(2n))]
Значит длина кривой, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна:
L
n = s*n = [a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)] = [a*п] / [2n*sin(п/(2n))]
При n -> [$8734$] длина кривой стремится к L, и L равно:
L = lim{n -> [$8734$]} L
n = lim{n -> [$8734$]} {[a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)]} = lim{n -> [$8734$]} {[a*п] / [2n*sin(п/(2n))]} =
= a * lim{n -> [$8734$]} {п / [2n*sin(п/(2n))]} = / пусть t = (п/(2n)), при n -> [$8734$] (п/(2n)) -> 0 и t -> 0 / =
= a * lim{t -> 0} {t / sin(t)} = a * 1 = a
Очевидно, если будет строится полуокружность, то [$946$] = п, тогда предел длины:
L = lim{n -> [$8734$]} L
n = lim{n -> [$8734$]} {[a*[$946$]] / [2*sin([$946$]/2)]} = lim{n -> [$8734$]} {[a*п] / [2*sin(п/2)]} = [a*п] / [2*1] = (a*п)/2
Ответ: для угла (п/n) предел длины кривой равен L = a, для полуокружности (то есть для угла п) предел длины кривой равен (a*п)/2