давно
Мастер-Эксперт
17387
18353
28.08.2009, 21:39
общий
это ответ
Здравствуйте, Roland Deschain.
Областью определения функции z(x, y) является вся плоскость Oxy; функция z(x, y) дифференцируема в каждой точке этой плоскости.
Определим стационарные точки, применяя теорему о необходимых условиях существования экстремума:
∂z/∂x = 3x2 – 3y = 0,
∂z/∂y = 3y2 – 3x = 0,
или
x2 – y = 0,
y2 – x = 0,
или
y = x2,
x = y2.
Отсюда x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = 1.
Стационарными являются точки M1(0; 0), M2(1; 1).
Исследуем полученные точки на достаточность условий экстремума. Имеем
∂2z/∂x2 = 6x, ∂2z/(∂x∂y) = -3, ∂2z/∂y2 = 6y;
в точке M1
A = ∂2z(x1, y1)/∂x2 = 0, B = ∂2z(x1, y1)/(∂x∂y) = -3, C = ∂2z(x1, y1)/∂y2 = 0, AC – B2 = 0 – 9 = -9, то есть эта точка не является точкой экстремума;
в точке M2
A = ∂2z(x2, y2)/∂x2 = 6 > 0, B = ∂2z(x2, y2)/(∂x∂y) = -3, C = ∂2z(x2, y2)/∂y2 = 6, AC – B2 = 36 – 9 = 27 > 0, то есть эта точка является точкой локального минимума.
Значение функции в точке M2 равно
zmin = z(1, 1) = 13 + 13 – 3 ∙ 1 ∙ 1 = -1.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.