Здравствуйте, Смирнов Михаил Владимирович.
Пример функции в приложении.
Использование:
if not GetInetFile(file_on, file_out) then
begin
ShowMessage('Ошибка загрузки');
exit;
end;

file_on - URL исходного файла
file_out - имя файла, в который будем закачивать

Удачи.

Приложение:
uses Wininet

...

function GetInetFile(const fileURL, FileName: string): boolean;
const
BufferSize = 1024;
var
hSession, hURL: HInternet;
Buffer: array[1..BufferSize] of Byte;
BufferLen: DWORD;
f: file;
sAppName: string;
begin
Result:=False;
sAppName := ExtractFileName(Application.ExeName);
hSession := InternetOpen(PChar(sAppName),
INTERNET_OPEN_TYPE_PRECONFIG,
nil, nil, 0);
try
hURL := InternetOpenURL(hSession, PChar(fileURL), nil, 0, 0, 0);
try
AssignFile(f, FileName);
Rewrite(f,1);
repeat
InternetReadFile(hURL, @Buffer,
SizeOf(Buffer), BufferLen);
BlockWrite(f, Buffer, BufferLen)
until
BufferLen = 0;
CloseFile(f);
Result:=True;
finally
InternetCloseHandle(hURL)
end;
finally
InternetCloseHandle(hSession)
end;
end;