Здравствуйте, Alik4546.

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:
1/[(x²+2)(x²+3)²] = A/(x² + 2) + B/(x² + 3) + C/(x² + 3)² =
= [A(x² + 3)² + B(x² + 2)(x² + 3) + C(x² + 2)]/[(x²+2)(x²+3)²],
A(x² + 3)² + B(x² + 2)(x² + 3) + C(x² + 2) = 1. (1)

Приравнивая в выражении (1) коэффициенты при свободных членах, получаем
9A + 6B + 2C = 1; (2)
приравнивая в выражении (1) коэффициенты при x⁴, получаем
A + B = 0; (3)
приравнивая в выражении (1) коэффициенты при x², получаем
6A + 5B + C = 0. (4)

Решаем систему уравнений (2) – (4), переписав их следующим образом:
C + 5B + 6A = 0,
B + A = 0,
2C + 6B + 9A = 1.
Расширенная матрица системы имеет следующий вид:
||1 5 6 | 0||
||0 1 1 | 0||
||2 6 9 | 1||.
Применяя метод Гаусса, получим
||1 5 6 | 0||
||0 1 1 | 0|| ~
||2 6 9 | 1||

||1 5 6 | 0||
||0 1 1 | 0|| ~
||0 -4 -3 | 1||

||1 5 6 | 0||
||0 1 1 | 0|| ~
||0 0 1 | 1||.
Следовательно,
A = 1,
B + A = 0, B + 1 = 0, B = -1,
C + 5B + 6A = 0, C – 5 + 6 = 0, C = -1,
и подынтегральная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:
1/[(x² + 2)(x² + 3)²] = 1/(x² + 2) - 1/(x² + 3) - 1/(x² + 3)².

Пользуясь таблицами интегралов (чтобы не брать «трудный» интеграл), предварительно находим
∫dx/(x² + 3)² = x/[6(x² + 3)] + 1/6 ∙ ∫dx/(x² + 3) = x/[6(x² + 3)] + 1/6 ∙ 1/√3 ∙ arctg x/√3 =
= x/[6(x² + 3)] + 1/(6√3) ∙ arctg x/√3 (произвольную постоянную интегрирования опускаем).

Находим первообразную подынтегральной функции:
F(x) = ∫dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = ∫dx/(x² + 2) - ∫dx/(x² + 3) - ∫dx/(x² + 3)² =
= 1/√2 ∙ arctg x/√2 - 1/√3 ∙ arctg x/√3 - x/[6(x² + 3)] - 1/(6√3) ∙ arctg x/√3 =
= 1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x² + 3)] (произвольные постоянные интегрирования опускаем).

Далее находим

₀∫^+∞ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = ₀∫^+∞ dx/(x² + 2) - ₀∫^+∞ dx/(x² + 3) - ₀∫^+∞ dx/(x² + 3)² =
= lim _{b → +∞} [₀∫^b dx/(x² + 2) - ₀∫^b dx/(x² + 3) - ₀∫^b dx/(x² + 3)²] =
= lim _{b → +∞} {1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x² + 3)]}|₀^b =
= lim _{b → +∞} {1/√2 ∙ arctg b/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg b/√3 – x/[6(b² + 3)]} – 0 = π/(2√2) – 7π/(12√3)
(здесь при b → +∞ b/[6(b² + 3)] = [∞/∞] = (по правилу Лопиталя) = 1/(12b) → 0);

_-∞∫⁰ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = _-∞∫⁰ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = _-∞∫⁰ dx/(x² + 2) - _-∞∫⁰ dx/(x² + 3) - _-∞∫⁰ dx/(x² + 3)² =
= lim _{a → -∞} [_a∫⁰ dx/(x² + 2) - _a∫⁰ dx/(x² + 3) - _a∫⁰ dx/(x² + 3)²] =
= lim _{a → -∞} {1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x² + 3)]}||_a⁰ =
= 0 – lim _{a → -∞} {1/√2 ∙ arctg a/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg a/√3 – a/[6(a² + 3)]} = π/(2√2) – 7π/(12√3)
(здесь при a → -∞ a/[6(a² + 3)] = [∞/∞] = (по правилу Лопиталя) = 1/(12a) → 0);

_-∞∫^+∞ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = _-∞∫⁰ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] + ₀∫^+∞ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = 2[π/(2√2) – 7π/(12√3)] =
= π/√2 – 7π/(6√3) = π(√2/2 – 7√3/18) = π/18 ∙ (9√2 - 7√3).

Найти несобственный интеграл можно по-другому.

Функция f(z) = 1/[(z² + 2)(z² + 3)²] является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением полюсов i√2 (простой полюс), i√3 (полюс второго порядка). Кроме того,
при |z| → +∞ z²f(z) = z²/[(z² +2)(z² +3)²] → 0, то есть является конечной величиной.

Находим вычет функции f(z) относительно простого полюса i√2:
r _i√2 f(z) = lim _{z → i√2} (z – i√2)/[(z² + 2)(z² + 3)²] = lim _{z → i√2} 1/[(z + i√2)(z² + 3)²] = 1/(2i√2).

Находим вычет функции f(z) относительно полюса второго порядка i√3:
r _i√3 f(z) = lim _{z → i√3} d{(z – i√3)²/[(z² + 2)(z² + 3)²]}/dz =
= lim _{z → i√3} d{1/[(z² + 2)(z + i√3)²]}/dz = 1/2 ∙ lim _{z → i√3} {-1/[(z² + 2)²(z + i√3)⁴] ∙ d[(z² + 2)(z + i√3)²]/dz} =
= -lim _{z → i√3} {1/[(z² + 2)²(z + i√3)⁴] ∙ [2z(z + i√3)² + 2(z² + 2)(z + i√3)]} =
= -2 ∙ lim _{z → i√3} {z/[(z² + 2)²(z + i√3)²] + 1/[(z² + 2)(z + i√3)³]} = -2[i√3/(2i√3)² – 1/(2i√3)³] =
= -2[i√3/(12i²) – 1/(24√3i³)] = i/(2√3) + i/(12√3).

Искомый несобственный интеграл равен
_-∞∫^+∞ dx/[(x² + 2)(x² + 3)²] = 2πi[1/(2i√2) + i/(2√3) + i/(12√3)] = π/√2 – π/√3 - π/(6√3) =
= π/√2 - 7π/(6√3) = π/18 ∙ (9√2 - 7√3).

В обоих случаях получаем одинаковый результат
[sub]-∞[/sub]∫[sup]+∞[/sup] dx/[(x[sup]2[/sup] + 2)(x[sup]2[/sup] + 3)[sup]2[/sup]] = π/18 ∙ (9√2 - 7√3) ≈ 0,1053.

С уважением.