Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 170399
13.07.2009, 13:40
0.00 руб.
0 2 1
Образование
Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
[$8721$](n=1...[$8734$])(n!)2/2n[sup]2[/sup]

Обсуждение

Неизвестный
13.07.2009, 13:42
общий
Уважаемые эксперты,поясняю: в знаменателе выражение 2 в степени n,а этот n ещё и в квадрате.
Неизвестный
13.07.2009, 14:40
общий
это ответ
Здравствуйте, Alik4546.

Применим признак Д'Аламбера.
Так как
an = (n!)2 / 2(n^2), то

an+1 = ((n+1)!)2 / 2((n+1)^2) = (n!*(n+1))2 / 2((n^2)+2n+1) = [(n+1)2*(n!)2] / [2(n^2)*22n*2]

Тогда

I = lim{n->[$8734$]}an+1/an = lim{n->[$8734$]}[(n+1)2] / [2*22n] = lim{n->[$8734$]}[(n+1)2] / [2*4n]

Предел lim{n->[$8734$]}[(n+1)2] / [2*4n] вычисляем, переходя от предела последовательности к пределу функции

I = lim{x->[$8734$]}[(x+1)2] / [2*4x]

Используем два раза правило Лопиталя, то есть дважды дифференцируем числитель и знаменатель (отдельно)

I = lim{x->[$8734$]}[(x+1)2]'' / [2*4x]'' = lim{x->[$8734$]}[2*(x+1)]' / [2*4x*ln4]' = lim{x->[$8734$]}2 / [2*4x*ln4*ln4] = lim{x->[$8734$]}1 / [4x*(ln4)2] =

= (1/((ln4)2)) * lim{x->[$8734$]}1 / 4x = (1/((ln4)2)) * (1/[$8734$]) = 0

Так как I = lim{n->[$8734$]}an+1/an = 0 < 1, то согласно признаку Д'Аламбера ряд сходится.
5
Форма ответа