Здравствуйте, Норберт.

Отвечаю на Ваши первые два задания.

1.1. С учетом Вашего сообщения в мини-форуме вопроса правильная запись заданного уравнения имеет следующий вид:
xy’ = (3y³ + 6yx²)/(2y² + 3x²). (1)

Преобразуем выражение (1) следующим образом:
xdy/dx = (3y³ + 6yx²)/(2y² + 3x²),
(3y³ + 6yx²)dx – x(2y² + 3x²)dy = 0. (2)

Обозначим в уравнении (2) P(x, y) = 3y³ + 6yx², Q(x, y) = -x(2y² + 3x²).
Поскольку
P(λx, λy) = 3(λy)³ + 6λy(λx)² = λ³(3y³ + 6yx²) = λ³P(x, y),
Q(λx, λy) = -λx(2(λy)² + 3(λx)²) = -λ³x(2y² + 3x²) = λ³Q(x, y),
то P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции третьего измерения, а уравнение (2) – однородное.

С помощью подстановки y = tx приводим уравнение (2) к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t:
dy = xdt + tdx,
(3t³x³ + 6tx³)dx – (2t²x³ + 3x³)(xdt + tdx) = 0,
3t³x³dx + 6tx³dx – 2t²x⁴dt – 3x⁴dt – 2t³x³dx – 3tx³dx = 0,
t³x³dx + 3tx³dx – 2t²x⁴dt – 3x⁴dt = 0,
2t²x⁴dt + 3x⁴dt = t³x³dx + 3tx³dx,
x⁴(2t² + 3)dt = x³(t³ + 3t)dx,
(2t² + 3)dt/(t³ + 3t) = x³dx/x⁴,
(2t² + 3)dt/(t(t² + 3)) = dx/x. (3)

Решаем полученное уравнение (3) с разделенными переменными:
∫(2t² + 3)dt/(t(t² + 3)) = ∫dx/x,
(2t² + 3)/(t(t² + 3)) = (t² + 3)/(t(t² + 3)) + t²/(t(t² + 3)) = 1/t + t/(t² + 3),
∫(2t² + 3)dt/(t(t² + 3)) = ∫dt/t + ∫tdt/(t² + 3),
∫dt/t + ∫tdt/(t² + 3) = ∫dx/x,
ln |t| + 1/2 • ln (t² + 3) = ln |x| + ln |C|,
t√(t² + 3) = Cx. (4)

Переходим от переменной t к переменной y в выражении (4):
(y/x)√((y/x)² + 3) = Cx,
y√((y/x)² + 3) = Cx² – искомый общий интеграл.

1.2. Решаем соответствующее однородное уравнение:
y” – 4y’ = 0;
корнями характеристического уравнения k² – 4k = 0 являются k₁ = 0 и k₂ = 4 – различные действительные числа. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
y* = C₁ + C₂e^4x.

Находим частное решение заданного неоднородного уравнения. Для этого воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Заданное уравнение представим в следующем виде:
y” – 4y’ = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x),
где f₁(x) = e^2x, f₂(x) = sin 6x, f₃(x) = -x + 1,
и найдем частные решения уравнений
y” – 4y’ = e^2x, (1)
y” – 4y’ = sin 6x, (2)
y” – 4y’ = -x + 1. (3)

Находим частное решение уравнения (1). Ищем его в виде
y₁** = Ae^2x.
Тогда
y₁**’ = 2Ae^2x,
y₁**” = 4Ae^2x,
и после подстановки в уравнение (1) получаем
4Ae^2x – 8Ae^2x = e^2x,
-4Ae^2x = e^2x,
-4A = 1,
A = -1/4.
Следовательно,
y₁** = -1/4 ∙ e^2x – частное решение уравнения (1).

Находим частное решение уравнения (2). Ищем его в виде
y₂** = B ∙ cos 6x + D ∙ sin 6x.
Тогда
y₂**’ = -6B ∙ sin 6x + 6D ∙ cos 6x,
y₂**” = -36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x,
и после подстановки в уравнение (2) получаем
-36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x – 4(-6B ∙ sin 6x + 6D ∙ cos 6x) = sin 6x,
-36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x + 24B ∙ sin 6x – 24D ∙ cos 6x = sin 6x,
(-36B – 24D)cos 6x + (24B – 36D)sin 6x = sin 6x,
-36B – 24D = 0,
24B – 36D = 1,
-6B – 4D = 0,
6B – 9D = 1/4,
-13D = 1/4, D = -1/52,
-6B + 1/13 = 0, 6B = 1/13, B = 1/78.
Следовательно,
y₂** = 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x – частное решение уравнения (2).

Находим частное решение уравнения (3). Ищем его в виде
y₃** = x(Ex + F) = Ex² + Fx.
Тогда
y₃**’ = 2Ex + F,
y₃**” = 2E,
и после подстановки в уравнение (3) получаем
2E – 4(2Ex + F) = -x + 1,
-8Ex + 2E – 4F = -x + 1,
-8E = -1, E = 1/8,
2E – 4F = 1, 1/4 – 4F = 1, 4F = -3/4, F = -3/16.
Следовательно,
y3** = 1/8 ∙ x2 – 3/16 ∙ x – частное решение уравнения (3).

Находим частное решение заданного уравнения:
y** = y₁** + y₂** + y₃** = -1/4 ∙ e^2x + 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x + 1/8 ∙ x² – 3/16 ∙ x
и его общее решение:
y = y* + y** = C₁ + C₂e^4x – 1/4 ∙ e^2x + 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x + 1/8 ∙ x2 – 3/16 ∙ x.

Что касается третьего и четвертого заданий, смотрите, пожалуйста, мое сообщение в мини-форуме вопроса.

Проверьте выкладки и старайтесь впредь не помещать в одном вопросе несколько заданий.

С уважением.