Здравствуйте, трухин олег геннадьевич.

Применим подстановку y’ = p. Тогда данное уравнение примет вид
p’ - p/x = x
и является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пусть p = uv. Тогда p’ = u’v + uv’,
u’v + uv’ - uv/x = x,
uv’ + v(u’ - u/x) = x. (1)

В качестве u = u(x) возьмем функцию, для которой
u’ - u/x = 0,
тогда
du/dx = u/x,
du/u = dx/x,
∫du/u = ∫dx/x,
ln |u| = ln |x|,
u = x (постоянную интегрирования опускаем).

Подставляя выражение для u в формулу (1), получаем
v’x = x,
v’ = 1,
dv/dx = 1,
dv = dx,
∫dv = ∫dx,
v = x + C₁.

Следовательно,
p = uv = x ∙ (x + C₁) = x² + C₁x,
y’ = dy/dx = x² + C₁x,
dy = (x² + C₁x)dx,
∫dy = ∫(x² + C₁x)dx,
y = x³/3 + C₁x²/2 + C₂ – искомое решение.

С уважением.