Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович!
(x +2xy)dx + xydy =0;
х(1+2у)dx+xydy=0
(1+2y)dx+ydy=0
-dx=ydy/(1+2y)
-Sdx=Sydy/(1+2y)
-x+c=0.5S(1-1/(1+2y))dy
-x+c=0.5(y-0.5ln|1+2y|)
y-0.5ln|1+2y|=c1-2x

Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

1. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка,
k² = 0, k_1,2 = 0 – корни характеристического уравнения,
y* = C₁ + C₂x – общее решение соответствующего однородного уравнения (y” = 0).

Для нахождения частного решения применим метод вариации произвольных постоянных:
y** = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂,
где y₁ = 1, y₂ = x – фундаментальная система решений однородного уравнения, а C₁(x), C₂(x) – решения системы дифференциальных уравнений
С₁’y₁ + С₂’y₂ = 0,
С₁’y₁’ + С₂’y₂’ = f(x),
то есть
С₁’ + С₂’x = 0,
С₂’= cos² 4x.
Подставляя в первое уравнение системы выражение для С2’, получаем
С₁’ + x ∙ cos² 4x = 0,
С₁’ = -x ∙ cos² 4x,
С₁(x) = -∫x ∙ cos² 4x ∙ dx = -∫x ∙ 1/2 ∙ (1 + cos 8x) ∙ dx = -1/2 ∙ ∫xdx – 1/2 ∙ ∫x ∙ cos 8x ∙ dx =
= -1/4 ∙ x² – 1/2 ∙ (1/8 ∙ x ∙ sin 8x – 1/8 ∙ ∫sin 8x ∙ dx) = -x²/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x (постоянную интегрирования полагаем равной нулю).

Следовательно, частное решение данного уравнения имеет вид
y** = -x²/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x + x ∙ cos² 4x =
= -x²/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x + x ∙ 1/2 ∙ (1 + cos 8x) =
= -x²/4 + x/2 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x + 1/2 ∙ x ∙ cos 8x – 1/128 ∙ cos 8x,
а общее решение -
y = y* + y** = C₁ + C₂x – x²/4 + x/2 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x + 1/2 ∙ x ∙ cos 8x – 1/128 ∙ cos 8x.

Можно привести правую часть данного уравнения к специальному виду, поскольку
cos² 4x = 1/2 ∙ (1 + cos 8x), и применить метод неопределенных коэффициентов…

2. Имеем
P(x; y) = x² + 2xy, Q(x; y) = xy,
P(tx; ty) = t²x² + 2t²xy = t²(x² + 2xy) = t²P(x; y),
Q(tx; ty) = t²xy = t²Q(x; y),
следовательно, P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции второго измерения, и данное уравнение является однородным.

Положим y = u(x) ∙ x, тогда dy = xdu + udx. Выполним преобразования данного уравнения:
(x² + 2xy)dx + xydy = 0,
(x² + 2ux²)dx + ux²(xdu + udx) = 0,
(x² + 2ux²)dx + ux³du + u²x²dx = 0,
x²(1 + 2u + u²)dx = - ux³du,
x²dx/x³ = -udu/(1 + 2u + u²),
dx/x = -udu/(1 + u)².

Получили уравнение с разделенными переменными, интегрируя которое, находим
∫dx/x = -∫udu/(1 + u)²,
u/(1 + u)² = (1 + u – 1)/(1 + u)² = 1/(1 + u) – 1/(1 + u)²,
∫dx/x = -∫du/(1 + u) + ∫du/(1 + u)²,
ln |x| = -ln |u| - 1/(1 + u) + C.

Переходим от переменной u к переменной y:
ln |x| = -ln |y/x| - 1/(1 + y/x) + C – общий интеграл данного уравнения.

3. Дано линейное относительно y и y’ неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом Бернулли.

Полагаем y = u(x) ∙ v(x). Тогда y’ = u’v + uv’, и данное уравнение принимает вид
u’v + uv’ – uv/x = x ∙ sin x,
u’v + u(v’ – v/x) = x ∙ sin x. (1)

Приравниваем нулю выражение в скобках и находим функцию v:
v’ – v/x = 0,
dv/dx = v/x,
dv/v = dx/x,
∫dv/v = ∫dx/x,
ln |v| = ln |x| (постоянную интегрирования опускаем),
v = x.

Подставляя выражение для v в уравнение (1), находим
u’x = x ∙ sin x,
u’ = sin x,
du/dx = sin x,
du = sin x ∙ dx,
∫du = ∫sin x ∙ dx,
u = -cos x + C.

Следовательно, y = uv = x ∙ (-cos x + C) – общее решение данного уравнения.

Вам следует проверить выкладки.

Будьте корректны по отношению к экспертам портала. Не следует в одном вопросе помещать несколько заданий.

С уважением.