Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 168766
02.06.2009, 13:51
0.00 руб.
0 4 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу:
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи тела и его проекцию на ось xOy.
z = 0, y+z = 2, x2 + y2 = 4

Я не смог решить: составил уравнение объема V = [$8747$]dx[$8747$]dy[$8747$]dz c пределами по dz от 0 до 2-y, по dy от -[$8730$](4-x2) до -[$8730$](4-x2) и по dx от -2 до 2, но в итоге получил 0. Помогите, пожалуйста.

Обсуждение

Неизвестный
02.06.2009, 13:52
общий
Извиняюсь, второй предел по dy, конечно же, с плюсом.
Неизвестный
03.06.2009, 16:54
общий
К цилиндрическим координатам переходить не пробовали?
Неизвестный
03.06.2009, 23:52
общий
Не пробовал, помогите, пожалуйста.
Неизвестный
04.06.2009, 11:38
общий
это ответ
Здравствуйте, Евсюков Виталий Евгеньевич.

Помогаю :)
Тут можно перейти к цилиндрическим координатам: x=r cos(a); y=r sin(a); z=h;
Тогда у нас -2<=r<=2; 0<=a<=П; 0<=h<=2-r sin(a); Якобиан |I|=r.

Теперь V=\int_-2^2 dr \int_0^П da \int_0^(2-r sin(a)) |I| dh = \int_-2^2 dr \int_0^П da \int_0^(2-r sin(a)) r dh = \int_-2^2 r dr \int_0^П da \int_0^(2-r sin(a)) dh = \int_-2^2 r dr \int_0^П (2-r sin(a)) da = \int_-2^2 r [2a( a от 0 до П) + r cos(a) ( a от 0 до П) ] dr = \int_-2^2 r (2П - 2r) dr = 2П \int_-2^2 r dr - 2 \int_-2^2 r^2 dr = П r^2 (r от -2 до 2) - 2/3 r^3 ( r от -2 до 2) = 8П - 2/3 * 16.

Вот так :)

Насчет рисунка: я так понимаю, если Вы расставили границы, то рисунок у Вас получился. Но, на всякий случай:

x^2 + y^2 = 4 - это "бесконечный" цилиндр, высота его - ось Oz, радиус основы = 2. Плоскость z=0 отрезает у него нижнюю часть, плоскость z=2-y отрезает кусочек цилиндра над плоскостью xOy "наискосок", для построения этой плоскости Вам хватит, естественно, 3-х точек, например (x, 0, 2), (x, 2, 0), (x, 1, 1), х - любое.

Проекция на xOy - круг x^2+y^2=4.
Форма ответа