Здравствуйте, Tribak!
Прежде всего хочется отметить несовсем верный подход к решению самого уравнения. Попробуем сделать следующим образом.

Разделим обе части исходного уравнения (кстати, оно является уравнением Бернулли) на y^2. После несложных преобразований, уравнение перепишется в виде:
-d(1/y)/dx + (1/y)*1/sin(x)^2 = ctg(x)/sin(x)^2.

Теперь произведем замену z=1/y. Получим уравнение
-dz/dx+z/sin(x)^2=ctg(x)/sin(x)^2.

Теперь будем искать решение этого уравнения в виде произведения функций z=uv. При этом заметим, что сами значения u и v могут буть произвольными функциями (имеет смысл только их произведение). Последнее уравнение перепишется в виде (опять же после несложных преобразований):
-u'v-u(v'-v/sin(x)^2)=ctg(x)/sin(x)^2 (1)

Вкачестве функции v примем функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения v'-v/sin(x)^2=0. Тогда уравнение (1) будет равносильно системе уравнений

v'-v/sin(x)^2=0
-u'v=ctg(x)/sin(x)^2

Из первого уравнения легко найти функцию v (методом разделения переменных)
v=e^(-ctg(x))

(постоянную интегрирования не учитываем, т.к., еще раз повторюсь, вид функции v нас особо не интересует).

Подставим это значение во второе уравнение системы. После несложного упрощения получим:
u'=-ctg(x)*e^ctg(x)/sin(x)^2
du = ctg(x)*d(e^ctg(x))

(все минусы, получаемые в ходе преобразований, вносим под знак константы C1).
Последнее уравнение легко интегрируется по частям
u= e^ctg(x)*(ctg(x)-1)+C.

Отсюда находим
z=uv = e^(-ctg(x)) * (e^ctg(x)*(ctg(x)-1)+C) = ctg(x)-1 + C*e^(-ctg(x))
y=1/z = 1/(ctg(x)-1 + C*e^(-ctg(x)))

Теперь, при x=Pi/2
y = 1/(C-1)
или, по условию 1.
Отсюда C=2.

Ответ: y(x)=1/(ctg(x)-1 + 2*e^(-ctg(x)))