Здравствуйте, Hellphoenix!

Решаем характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:
k² - 4k + 13 = 0, D = 4² - 4[$149$]1[$149$]13 = -36, [$8730$]D = 6i, k₁ = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i, k₂ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i.
Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения будет
y* = e^2x(C₁cos 3x + C₂sin 3x).

Правая часть заданного уравнения является двучленом первой степени f(x) = 26x + 8, поэтому частное решение заданного уравнения можно искать в виде y** = Ax + B. Тогда общее решение заданного уравнения представится в виде
y = y* + y** = e^2x(C₁cos 3x + C₂sin 3x) + Ax + B.

Поскольку y**' = A, y**" = 0, то подставляя эти значения в заданное уравнение, находим
-4A + 13(Ax + B) = 26x + 8,
13Ax + (-4A + 13B) = 26x + 8,
13A = 26, A = 2, -4A + 13B = 8, -8 + 13B = 8, 13B = 16, B = 16/13.

В итоге для заданного уравнения получили общее решение
y = e^2x(C₁cos 3x + C₂sin 3x) + 2x + 16/13, и
y' = 2e^2x(C₁cos 3x + C₂sin 3x) + e^2x(-3C₁sin 3x + 3C₂cos 3x) + 2.

Поскольку при x = 0 y = 1, y' = 0, то
1 = C₁ (подставляем x = 0, y = 1 в выражение для y),
0 = 2C₁ + 3C₂ + 2 (подставляем x = 0, y' = 1 в выражение для y'), 3C₂ = -4, C₂ = -4/3, и искомое частное решение суть
y = e^2x(cos 3x - (4/3)sin 3x) + 2x + 16/13.

С уважением.