Здравствуйте, Hellphoenix!
Для того, чтобы понять подобные задачи, нужно сделать схематический чертеж. Вот чертеж для нашей задачи:

Как вы видите, x^2+y^2 =4 - цилиндр
x^2+y^2 = z - парабола
Искомое тело снизу ограничено плоскостью Оху (z=0), цилинром ("стенки" тела) и сверху параболой.
Объем находится с помощью тройного интеграла:
V=IntIntInt[V][dxdydz]
Следующий важный шаг - определить пределы интегрирования:
z ограничен снизу плоскостью Оху z=0, а сверху параболой x^2+y^2 = z, значит пределы интегрирования по dz: 0<=z<= x^2+y^2
Далее рассмотрим изменение по переменным х и у: обе переменные изменяются в пределых круга, ограниченного окружностью x^2+y^2 =4. Какую из них выразить через другую не имеет принципиального значения (вторая тогда будет иметь пределы только константы, то есть числа). Например, пусть у изменяется от дуги y=-sqrt(4-x^2) до y=sqrt(4-x^2), а х тогда изменяется от -2 до 2. (можно было с тем же успехом выразить х через у : x=-sqrt(4-y^2), x=-sqrt(4-y^2), а пределы для у: -2<=y<=2). Теперь осталось посчитать тройной интеграл
V=Int[-2, 2][dx]Int[-sqrt(4-x^2), sqrt(4-x^2)][dy]Int[0, x^2+y^2][dz]=Int[-2, 2]Int[dx][-sqrt(4-x^2), sqrt(4-x^2)][z[0, x^2+y^2]dy]=
=Int[-2, 2][dx]Int[-sqrt(4-x^2), sqrt(4-x^2)][(x^2+y^2-0)dy]=Int[-2, 2][dx]Int[-sqrt(4-x^2), sqrt(4-x^2)][(x^2+y^2-0)dy]=
=Int[-2, 2][(y*x^2+1/3*y^3)[-sqrt(4-x^2), sqrt(4-x^2)]dx]=Int[-2, 2][((sqrt(4-x^2)-(-sqrt(4-x^2)))*x^2+1/3*(sqrt(4-x^2)^3-(-sqrt(4-x^2)^3)))dx]=
=2*Int[-2, 2][x^2*sqrt(4-x^2)dx]+2/3*Int[-2, 2][sqrt(4-x^2)^3dx]=(*)
x=2sint
dx=2costdt
t=arccos(x/2)
x1=-2, t1=-pi
x2=2, t2=0
(*)=2*Int[-pi, 0][4*sin^2 t*sqrt(4-4sin^2 t)*2cost dt]+2/3*Int[-pi, 0][sqrt(4-4sin^2 t)^3 *2cost dt]=
=2*16*Int[-pi, 0][sin^2 t*cos^2 t dt]+2*4/3*Int[-pi, 0][cos^4 t dt]=
=32/4*Int[-pi, 0][sin^2 (2t) dt]+8/3*1/4*Int[-pi, 0][(1+cos2t)^2 dt]=
=8/2*Int[-pi, 0][(1-cos4t)dt]+2/3*Int[-pi, 0][(1+2cos2t+cos^2 (2t))dt]=
=4*(t-1/4*sin4t)[-pi, 0]+2/3*(t+sin2t)[-pi, 0]+2/3*1/2*Int[-pi, 0][(1+cos4t)dt]=
=4*(0-0-(-pi-0))+2/3*(0+0-(-pi+0))+1/3*(t+1/4*sin4t)[-pi, 0]=
=4*pi+2/3*pi+1/3*(0+0-(-pi+0))=pi*(4+2/3+1/3)=5*pi