Здравствуйте, новенка петр!
1) z=y*sqrt(y/x)=y^3/2/x^1/2
dz/dx=-1/2*y^3/2/x^3/2
d²z/dx²=3/4*y^3/2/x^5/2
dz/dy=3/2*y^1/2/x^1/2
d²z/dx²=3/4*1/(y^1/2*x^1/2)

x²*3/4*y^3/2/x^5/2 - y²*3/4*1/(y^1/2*x^1/2)=
=3/4*(y^3/2/x^{5/2 -2} - y^{2 -1/2}/x^1/2 )=
=3/4*(y^3/2/x^1/2 - y^3/2/x^1/2 )=0

2) z=1/2*x²-xy
y=1/3*x²
y=3
Найдем точки пересечения этих кривых:
3=1/3*x²
x²=1
х=-1, х=1
Тогда точки (-1, 3), (1, 3)
Находим стационарные точки из системы
dz/dx=x-y=0
dz/dy=-x=0

x=0
y=0
M1(0, 0)
z1=z(M1)=0

Исследуем на границе области:
1) На прямой у=3
z_y=3=1/2*x²-3x
z'=x-3=0
x=3
y=3
z''=1
M2(3, 3) - точка условного локального минимума
z2=z(M2)=-9/2

2) На параболе y=1/3*x²
z_y=1/3*x^2=1/2*x²-1/3*x³
z'=x-x²=0
x(1-x)=0
x=0, тогда у=0
x=1, тогда у=1/3
z''=1-2x
Для х=0 z''>0, значит М1(0, 0) - точка условного локального минимума
Для х=1 z''<0, значит М3(1, 1/3) - точка условного локального максимума
z3=z(M3)=1/6

x=sqrt(3y)
z_x=sqrt(3y)=1/2*3y-y*sqrt(3y)
z'=3/2 -sqrt(3y)-3y/(2sqrt(3y))=0
3sqrt(3y)-2*(sqrt(3y))²-(sqrt(3y))²=0
3*sqrt(3y) *(1-sqrt(3y))=0
sqrt(3y)=0
y=0, тогда х=0 (эту точку мы уже рассматривали)
1-sqrt(3y)=0
sqrt(3y)=1
3y=1
y=1/3, тогда х=1 (эта точка также уже рассматривалась)

Найдем значение функции в точках пересечения прямой и параболы М4(-1, 3), М5(1, 3)
z4=z(M4)=1/2+3=7/2
z5=z(M5)=1/2-3=-5/2

Выберем из найденных значений наибольшее и наименьшее:
z1=z(M1)=0
z2=z(M2)=-9/2 - наименьшее
z3=z(M3)=1/6
z4=z(M4)=7/2 - наибольшее
z5=z(M5)=-5/2