Здравствуйте, Lukovsky Sergey !
1) Необходимые (но не достаточные) условия экстремума функции двух и более переменных выполняются, если частные производные первого порядка данной функции, по всем независимым переменным, обращаются в ноль для данной точки: dz/dx=0, dz/dy=0.
dz/dx=1/2*y-(x/3+y/4)+1/3*(47-x-y)=-2/3*x-1/12*y+47/3=0;
dz/dy=1/2*x-(x/3+y/4)+1/4*(47-x-y)=-1/12*x-1/2*y+47/4=0.
Решив систему указанную систему, которую можно записать как
8*x+y=188;
x+6*y=141,
найдём стационарные точки (в данное случае это одна точка): x=21, y=20 (Проверьте!).
Для того, чтобы выяснить, является ли данная точка экстремумом (и каким именно) или просто особой точкой найдём вторые частные производные
A=d^2(z)/dx^2, B=d^2(z)/(dxdy), C=d^2(z)/dy^2 в найденной точке и составим дискриминант D=A*C-B^2. Если D>0, то функция в данной точке имеет экстремум, а именно максимум, если A>0 (или C>0), и минимум, если A<0 (или C<0). Если D<0, то в данной точке экстремума нет. Это достаточные условия экстремума. Если D=0, то требуются дополнительные исследования данной точки (сомнительный случай).
A=-2/3;
B=-1/12;
C=-1/2,
D=1/3-1/144=47/144>0 - точка является максимумом, т.к. A<0 (Проверить расчёт обязательно!).

2)Найдём точки пересечения указанных кривых:
y=5-x, x*(5-x)=4 -> x^2-5*c+4=0, x1=1 (y1=4), x2=4 (y2=1). На интервале [1,4] (5-x)>4/x. Следовательно, площадь фигуры будет равна S=int[(5-x)-(4/x),x1=1,x2=4]=5*x-x^2/2-4*ln(x)|[1,4]=(12-4*ln(4))-(9/2-4*ln(1))=15/2-8*ln(2)~1.96 (кв.ед.) (Проверить!)

Удачи.