Здравствуйте, Filins!

К сожалению, я почему-то не имею технической возможности ответить на платный вопрос. Поэтому отвечаю Вам в мини-форуме.

1. При x → -2
sin (x/(x + 3)) → sin (-2/(-2 + 3)) = sin (-2) = -sin 2,
x + 2 → -2 + 2 = 0,
cos πx → cos (-2π) = cos 2π = 1,
поэтому
√((1 + cos πx)/(4 + (x + 2)sin (x/(x + 3)))) → √((1 + 1)/(4 + 0 ∙ (-sin 2))) = √(2/4) = 1/√2.

Ответ: 1/√2.

2. При x → 1 имеем неопределенность вида 1^∞. Для нахождения предела перейдем к логарифму и воспользуемся правилом Лопиталя:
при x → 1
ln ((3 – 2x)^(tg (πx/2))) → (tg (πx/2))ln (3 – 2x) = [∞ ∙ 0] = (ln (3 – 2x))/(1/tg (πx/2)) = [0/0] =
= (ln (3 – 2x))’/(1/tg (πx/2))’ = (ln (3 – 2x))’/(ctg (πx/2))’ =
= (-2/(3 – 2x))/((π/2)(-1)/(sin (πx/2))^2) = 4/π.

Потенцируя полученное выражение, находим:
при x → 1
(3 – 2x)^(tg (πx/2)) → e^(4/π).

Ответ: e^(4/π).

3. Поскольку при x → 0 sin ax ~ ax (следствие из первого замечательного предела), то
при x → 0
(sin 2x)/(sin 3x) ~ 2x/(3x) = [(2x)(1/x)]/[(3x)(1/x)] → 2/3.

Ответ: 2/3.

4. При x → 0 имеем следующие эквивалентности:
4^x = 2^(2x) ~ 2xln 2 + 1, 2^(7x) ~ 7xln 2 + 1, tg 3x ~ 3x.
Следовательно, при x → 0
(4^x – 2^(7x))/(tg 3x – x) ~ (2xln 2 + 1 – 7xln 2 – 1)/(3x – x) = (-5xln 2)/(2x) = -(5/2)ln 2.

Ответ: -(5/2)ln 2.

С уважением.