Здравствуйте, Николаев Денис Федорович!
1) Для простоты примем, что текущая координата точки выражается уравнением x = A*SIN(ω*t + φ₀) (1), где A - амплитуда колебаний, ω = 2*π*n (2) - угловая частота, φ₀ - начальный фазовый угол в момент времени t = 0. Тогда текущее значение скорости выражается уравнением: V = dx/dt = A*ω*COS(ω*t + φ₀) (3). Подставив в (1) t = 0, x = x₀, V = V₀, и разделив одно на другое, после сокращений получаем: TAN(φ₀) = x₀*ω/V₀ (4). Воспользовавшись известным из тригонометрии тождеством: SIN(φ₀) = TAN(φ₀)/√((TAN(φ₀))² + 1) (5), подставив (4) в (5), а результат подстановки в (1), после сокращений получаем: A = (V₀/ω)*√((x₀*ω/V₀)² + 1) (6), а после подстановки (2) A = (V₀/(2*π*n))*√((x₀*(2*π*n)/V₀)² + 1) = (15/(2*π*1))*√((5*(2*π*1)/15)² + 1) = 5.54 см.
2) Частота колебаний физического маятника n определяется формулой: n = (√(g/l))/(2*π) (1), где l - приведённая длина. Из (1) следует, что для того, чтобы частота колебаний была максимальной, надо, чтобы приведённая длина была минимальной. Приведённая длина физического маятника вычисляется следующим образом: l = J/(m*x) (2), где J - момент инерции относительно точки подвеса, m - масса, x - расстояние от точки подвеса до центра масс. Далее: момент инерции стержня J относительно точки подвеса состоит из «центрального» J_ц (относительно его центра массы), равного m*L²/12 (3) (см. здесь), где L - полная длина стержня, и «добавочного», равного, согласно т.н. «теореме Штейнера» «массе тела, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения до центра массы тела» - в нашем случае это x, т.е. J = J_ц + m*x² (4), а с учётом (3): J = m*(L²/12 + x²) (4а). После подстановки (4а) в (2) и сокращения на m получаем: l = L²/12 + x² (5). Продифференцировав (5) по x и приравняв производную 0, после преобразований получаем: x = L/(2*√(3)) = 35/(2*√(3)) ≈ 10 см.