Здравствуйте, Петров Владимир Павлович!
Обозначим длину столба воздуха в трубке через l, а длину самой трубки через l[sub]т[/sub]; кроме того, обозначим: [$961$] - плотность ртути, P[sub]а[/sub] - атмосферное давление. До опускания трубки в сосуд с ртутью объём воздуха в ней был равен V[sub]т[/sub] и давление воздуха было равно P[sub]а[/sub]. После опускания объём уменьшился пропорционально длине столба и стал равен V = V[sub]т[/sub]*l/l[sub]т[/sub] (1), давление же воздуха уравновесило внешнее атмосферное P[sub]а[/sub] плюс давление столба ртути высотой h от середины трубки до нижней границы столба воздуха в трубке: h = l - l[sub]т[/sub]/2 (2). Для упрощения дальнейших выкладок выразим атмосферное давление в сантиметрах столба ртути: H[sub]а[/sub] = P[sub]а[/sub]/([$961$]*g) (3), где g - ускорение свободного падения; тогда, на основании закона Бойля-Мариотта, можем написать: V[sub]т[/sub]/V = (H[sub]а[/sub] + h)/H[sub]а[/sub], или, на основании (1): l[sub]т[/sub]/l = 1 + h/H[sub]а[/sub], а с учётом (2): l[sub]т[/sub]/l = 1 + l/H[sub]а[/sub] - l[sub]т[/sub]/(2*H[sub]а[/sub]) (3). Из (3) получается квадратное уравнение относительно l: l[sup]2[/sup] + (H[sub]а[/sub] - l[sub]т[/sub]/2)*l - l[sub]т[/sub]*H[sub]а[/sub] (4), решение которого, после отбрасывания отрицательного корня и раскрытия скобок с приведением подобных в подкоренном выражении: l = (l[sub]т[/sub]/2 + ([size=3][$8730$][/size](H[sub]а[/sub][sup]2[/sup] + 3*H[sub]а[/sub]*l[sub]т[/sub] + l[sub]т[/sub][sup]2[/sup]/4)) - H[sub]а[/sub])/2 (5). В числах: H[sub]а[/sub] = 100000/(13600*9.81) = 0.75 м = 75 см; l = (10/2 + ([size=3][$8730$][/size](75[sup]2[/sup] + 3*75*10 + 10[sup]2[/sup]/4)) - 75)/2 = 9.44 см.