Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 115743
24.12.2007, 15:15
50.00 руб.
0 2 2
Образование
Исследовать на сходимость ряд
сумма от n=1 до беск. {1/(3^n)}*{ [n/(n+1)]^(-n^2) }

Обсуждение

Неизвестный
24.12.2007, 21:17
общий
это ответ
Здравствуйте, Татьянка!

<sup>∞</sup>∑<sub>n=1</sub>(1/3<sup>n</sup>)·(n/(n+1))<sup>- n²</sup> = <sup>∞</sup>∑<sub>n=1</sub>(1/3<sup>n</sup>)·((n+1)/n)<sup>n²</sup>

Для проверки ряда на сходимость используем признак Коши:

lim<sub>n→∞</sub><sup>n</sup>√[(1/3<sup>n</sup>)·((n+1)/n)<sup>n²</sup>] = (1/3)·lim<sub>n→∞</sub><sup>n</sup>√((n+1)/n)<sup>n²</sup> =
= (1/3)·lim<sub>n→∞</sub>((n+1)/n)<sup>n²/n</sup> = (1/3)·lim<sub>n→∞</sub>((n+1)/n)<sup>n</sup> = (1/3)·lim<sub>n→∞</sub>(1+1/n)<sup>n</sup> = {используем второй замечательный предел lim<sub>n→∞</sub>(1+1/n)<sup>n</sup>=e} =
= (1/3)·e = e/3 = 0.906

Поскольку <font color=blue>0.906 < 1</font>, следовательно <b>ряд сходится</b>.

Good Luck!!!
Неизвестный
24.12.2007, 21:20
общий
это ответ
Здравствуйте, Татьянка!
u<sub>n</sub> = 3<sup>-n</sup> * [n/(n+1)]<sup>-n²</sup>.

Воспользуемся радикальным признаком сходимости:

(u<sub>n</sub>)<sup>1/n</sup> = {3<sup>-n</sup> * [n/(n+1)]<sup>-n²</sup>}<sup>1/n</sup> = 3<sup>-1</sup> * [n/(n+1)]<sup>-n</sup> = 1/3 * [(n+1)/n]<sup>n</sup> = 1/3 * (1 + 1/n)<sup>n</sup>;

lim<sub>n→∞</sub>(u<sub>n</sub>)<sup>1/n</sup> =
= lim<sub>n→∞</sub>[1/3 * (1 + 1/n)<sup>n</sup>] =
= 1/3 * lim<sub>n→∞</sub>(1 + 1/n)<sup>n</sup> =
{получили второй замечательный предел}
= 1/3 * e = e/3 < 1,
т.к. e ≈ 2.72.

Ответ: ряд сходится.
Форма ответа