Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 109282
13.11.2007, 20:37
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Геометрия.Построить элипс Х в квадрате +4*У в квадрате=4 и пораболу Х в квадрате=6у и найти площадь трапеции основаниями которой служат большая ось элипса, и общая хорда элипса и пораболы

Обсуждение

Неизвестный
15.11.2007, 16:09
общий
это ответ
Здравствуйте, Масленников Александр Иванович!
Эллипс: x²/4 + y²/1 = 1; центр в точке (0;0), большая полуось a = 2, малая полуось b = 1. Уравнение «верхней половины» эллипса: y<sub>элл</sub> = √(4-x²)/2.
Парабола: y = x²/6.

Найдём точки пересечения эллипса и параболы: решим систему двух уравнений
x² + 4y² = 4,
x² = 6y.

6y + 4y² = 4,
2y² + 3y – 2 = 0,
y<sub>1</sub> = -2, y<sub>2</sub> = 1/2;

x² = 6*(-2) = -12 ⇒ нет решения,
x² = 6*1/2 = 3 ⇒ x<sub>1</sub> = √3, x<sub>2</sub> = -√3.

Общая хорда эллипса и параболы — отрезок, соединяющий точки (-√3;1/2) и (√3;1/2).
Большая полуось эллипса — часть оси Ox от x = -2 до x = 2.

S = <sup>-√3</sup>∫<sub>-2</sub>y<sub>элл</sub>dx + <sup>√3</sup>∫<sub>-√3</sub>dx/2 + <sup>2</sup>∫<sub>√3</sub>y<sub>элл</sub>dx =
2<sup>2</sup>∫<sub>√3</sub>y<sub>элл</sub>dx + x/2|<sup>√3</sup><sub>-√3</sub> =
<sup>2</sup>∫<sub>√3</sub>√(4-x²)dx + √3.

<sup>2</sup>∫<sub>√3</sub>√(4-x²)dx = {x = 2sin(t) ⇒ dx = 2cos(t)dt, √(4-x²) = √(4cos²t) = 2cos(t)} = <sup>π/2</sup>∫<sub>π/3</sub>4cos²tdt = <sup>π/2</sup>∫<sub>π/3</sub>2(1+cos(2t))dt = (2t + sin(2t))|<sup>π/2</sup><sub>π/3</sub> = π/3 - √3/2.

S = π/3 - √3/2 + √3 = π/3 + √3/2.

Ответ: S = π/3 + √3/2.
Форма ответа