Здравствуйте, Павел Сергеевич!
2. ∫ ℮^(-4x-1) dx=-1/4*℮^(-4x-1)+C

Здравствуйте, Павел Сергеевич!
1.
∫(1-sin³x)dx/sin²x = ∫dx/sin²x - ∫sin(x)dx = -ctg(x) + cos(x) + C.

Здравствуйте, Павел Сергеевич!
∫dx/√(3x²-2x-1) = ∫dx/√((x-1)(3x+1)) = делаем замену переменных √((x-1)(3x+1)) = t(x-1) => (3x+1) = t²(x-1) => x(t²-3) = 1+t² => x = (1+t²)/(t²-3)
x-1 = (1+t²)/(t²-3) – 1 = 4/(t²-3) => √((x-1)(3x+1)) = t(x-1) = 4t/(t²-3)
dx = [2t(t²-3) – 2t(1+t²)]dt/(t²-3)² = -8tdt/(t²-3)²
Итак, наш интеграл = ∫(-8t)(t²-3)dt/[(t²-3)²*4t] = ∫(-2)dt/(t²-3) = (разбиваем подинтегральное выражение на сумму двух дробей с пока неизвестными числительными) = ∫[A/(t-√3) + B/(t+√3)]dt
Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы вычислить коэффициенты А В
[Bt-B√3+At+A√3]/(t²-3) = -2/(t²-3) => A=-B; 2A√3=-2 => A=-√3/3; B=√3/3
=> наш интеграл = ∫-√3dt/[3(t-√3)] + ∫√3dt/[3(t+√3)] + C= -ln(t-√3)/√3 + ln(t+√3)/√3 + C = ln[(t+√3)/(t-√3)]/√3 + C = (вспоминаем, что t = √[(3x+1)/(x-1)] ) … = ln[(√[(3x+1)/(x-1)]+√3)/(√[(3x+1)/(x-1)]-√3)]/√3 + C

5. ∫(5x-8)dx/(x³-4x²+4x) = ∫(5x-8)dx/[x(x-2)²] = (разбиваем подинтегральное выражение на сумму нескольких дробей с пока неизвестными числительными) = ∫[A/x + B/(x-2) + C/(x-2)²]dx
Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы вычислить коэффициенты А В С
[A(x²-4x+4) + B(x²-2x) + Cx]/[x(x-2)²] = [(A+B)x² + (-4A-2B+C)x + 4A]/[x(x-2)²] = (5x-8)/ [x(x-2)²]
Отсюда ясно, что
A+B = 0
-4A-2B+C = 5
4A = -8
=> A=-2; B=2; C=1
Итак, наш интеграл раскладывается на сумму трех интегралов:
… = ∫[-2/x + 2/(x-2) + 1/(x-2)²]dx = ∫[-2dx/x + ∫2dx/(x-2) + ∫dx/(x-2)²]dx = -2lnx + 2ln(x-2) – 1/(x-2) + С = 2ln[(x-2)/x)] - 1/(x-2) + С
Ответ: ∫(5x-8)dx/(x³-4x²+4x) = 2ln[(x-2)/x)] - 1/(x-2) + С

6. ∫dx/(x(1-lnx)³) = (вносим 1/x под знак дифференциала) ∫d(lnx)/((1-lnx)³) = -∫d(1-lnx)/((1-lnx)³) = (для наглядности делаем замену переменной y = 1-lnx ) -∫dy/y³ = 1/(2y²) + C = 1/(2(1-lnx)²) + C