Здравствуйте, Olga Safonova!

уважаеммые эксперты помогите доказать теорему о том что в треугольнике биссектриссы в оточке пересечения делятся и это отношение равно а+б делить на а. то есть AO делить на OD равно a+b делить на a

На самом деле, AO:OD = (AB + AC)/BC = (b + c)/a. Может быть, Ваш треугольник равнобедренный и AB = BC = a. Тогда действительно AO:OD = (a + b)/a.
Приступим к доказательству.
Я использую тот факт, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении равном отношению прилежащих сторон.
Что это означает для нас? Это означает, что BD:CD = AB:AC, где AD - биссектриса.
Это же отношение можно записать, используя свойство пропорций, как BD:BC = BD:(BD + CD) = AB:(AC + AB).
Заметим, что BO - биссектриса треугольника ABC является и биссектрисой ABD.
Тогда по тому же свойству биссектрисы: AO : OD = AB : BD.
Но из написанной ранее пропорции BD:BC = AB:(AC + AB) мы получаем AB : BD = (AC + AB) : BC.
Окончательно AO : OD = (AC + AB) : BC.
В принятых обозначениях a = BC, b = AC, c = AB получим AO : OD = (b + c) : a, ч.т.д.
Если будут вопросы по доказательству свойства биссектрисы, спрашивайте в мнениях по вопросу или личным письмом.