<font color=red><b>!!!</b></font>
Здравствуйте, Ласточка!

1. Дан вектор x=8e1+6e2+4e3-18e4. Разложить этот вектор по новому базису, связанному со старым базисом уравнениями
e{штрих}1=-3e1+e2+e3+e4,
e{штрих}2=2e1-4e2+e3+e4,
e{штрих}3=e1+3e2-5e3+e4,
e{штрих}4=e1+e2+4e3-6e4.

Мы уже обсуждали, что при переходе к другой системе Вам надо построить матрицу, в которой колонки сделаны из компонент нового базиса и решить систему уравнений
(-3 2 1 1)(a)=(8)
(1 -4 3 1)(b) (6)
(1 1 -5 4)(c) (4)
(1 1 1 -6)(d) (-18)
которая решается как обратная матрица умноженная справа на вектор, стоящий в правой части системы.
Наша конкретная система не имеет однозначного решения так как новые вектора не образуют базис и поэтому детерминант матрицы равен 0.
Действительно, вектора линейно зависимы: e‘4 = (-34/15)e‘1 - (31/15)e‘2 - (5/3)e‘3

2. Дан векторx=2(e1+e2+…+en). Разложить вектор х по базису e{штрих}1, e{штрих}2, …, e{штрих}n если
e{штрих}1=e1+e2, e{штрих}2=e2+e3, e{штрих}3=e3+e4,…, e{штрих}n-1=en-1+en, e{штрих}n=en+e1.

x = e‘1 + e‘2 + ... e‘n

3. Векторы e1,e2,e3,e4,e5 образуют ортонормированный базис. Найти скалярное произведение и длины векторов x=e1-2e2+e5, y=3e2+e3-e4+2e5

Скалярное произведение обладает дистрибутивным свойством, что позволяет нам открыть скобки:
(x.y) = (e1-2e2+e5 . 3e2+e3-e4+2e5) =
= 3*(e1.e2) + (e1.e3) - (e1.e4) + 2*(e1.e5) -
3*2*(e2.e2) - 2*(e2.e3) + 2*(e2.e4) - 2*2*(e2.e5) +
3*(e5.e2) + (e5.e3) - (e5.e4) + 2*(e5.e5) = <font color=red>−</font>3*2 + 2 = <font color=red><s>8</s> −4</font>
В ортонормированном базисе все произведения базисных векторов равны 0, кроме произведения вектора самого на себя, которое равно 1.
<p><fieldset style=‘background-color:#EFEFEF; width:80%; border:red 1px solid; padding:10px;‘ class=fieldset><font color=red><i></i>
-----
</font><font color=#777777 size=1><b>• Отредактировал: <a href=/info/user/118729 target=_blank>Агапов Марсель</a></b> (Специалист)
<b>• Дата редактирования:</b> 07.11.2007, 20:20</font></fieldset>