Консультации Портала - Консультация #107432

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 107432

30.10.2007, 21:50

0.00 руб.

0 3 3

Образование

Help me!! Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи:

1. Даны векторы ОА=а и ОВ=b, причём а=2, b=4, а (а^b)=60 градусов. Определить угол между медианой ОА треугольника АОВ и стороной ОА.
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6) и С(4;5;-2).
3. Построить параллелограмм на векторах a=2j+k и b=i+2k и вычислить его площадь и высоту.
4. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m-n и 4m-5n, где m и n – единичные векторы, образующие угол 45 градусов.
Если возможно, то с пояснениями. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Обсуждение

Неизвестный

31.10.2007, 04:10

общий

это ответ

Здравствуйте, Ласточка!
1) Пусть координаты т.О (0,0), ось х направим вдоль вектора ОА => координаты т.А (2,0), и т.к. угол между ОА и ОВ = 60° => координаты т.В (2, 2sqrt(3))
=> вектор АВ имеет координаты (0, 2sqrt(3))
Тогда если середина стороны АВ = т.D => AD = (0, sqrt(3)) => по правилу сложения векторов координаты т.D = ОА + АD = (2, sqrt(3))
Итак, ОD(2, sqrt(3)), ОА(2,0),
|OD| = sqrt(7)
|OA| = 2
cos(AOD) = OD*OA/(|OD|*|OA|) = 4/2sqrt(7) = 2/sqrt(7)

Неизвестный

31.10.2007, 19:45

общий

это ответ

Здравствуйте, Ласточка!
2. Треугольник построен на векторах AB = (-6,-3,2) и AC = (-3,2,-6). Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Векторное произведение вычисляется как определитель матрицы

|i j k|
|-6 -3 2|
|-3 2 -6|

Он равен 14i - 42j - 21k.

S = 1/2 * |[AB,AC]| = 1/2 * |14i - 42j - 21k| = 1/2 * sqrt(14² + (-42)² +(-21)²) = 7*sqrt(31)/2.

Ответ: S = 7*sqrt(31)/2.

Неизвестный

31.10.2007, 21:58

общий

это ответ

Здравствуйте, Ласточка!
3) Площадь параллелограмма -- модуль векторного произведения

[a,b]=
|i j k|
|0 2 1|=4i + 1 j - 2 k
|1 0 2|
тогда модуль этого вектора (векторное произведение)=

=sqrt(4^2 + 1^2 +(- 2)^2 )=sqrt(21)

найдем длины векторов a и b
|a|=sqrt(4+1)=sqrt(5)
|b|=sqrt(1+4)=sqrt(5)

Высоту можно опускать к двум сторонам, но так как они равны по модулю (нам параллелограмм -- ромб), то длины высот будут одинаковы
Площадь параллелограмма = a*h
h=sqrt(21)/sqrt(5)=sqrt(105)/5

4)Площадь параллелограмма -- половина произведения диагоналей на синус угла между ними
s=1/2 * d1*d2 * sin a , а это и есть половина векторного произведения

s=1/2 *mod [2m-n;4m - 5n]=1/2*( [2m;4m] + [-n;4m] + [2m;-5n] + [-n;-5n] )=
=1/2 * mod(0 + 4[-n;m] + 10[m;-n] + 0)=
=1/2 * mod( 6[m;-n])=
1/2 *| 6*1*1*sin(180-45) | =1/2*6*sqrt(2)/2=(3/2) * sqrt(2)

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.