Здравствуйте, Кириллова Анна Витальевна!

Вычислим вектор a:

Для G[sub]x[/sub] = x+2, G[sub]y[/sub] = y-xz, G[sub]z[/sub] = 3-z

откуда


1) Поток векторного поля

через ориентированную поверхность численно равен поверхностному интегралу 2-го рода по этой поверхности:

который можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по формуле:

где n[sub]0[/sub] - единичный нормальный вектор к поверхности, заданной функцией двух переменных, равен

(знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней). В свою очередь, поверхностный интеграл 1-го рода для поверхности, заданной функцией двух переменных z(x,y), сводится к двойному по формуле:

где D - проекция поверхности [$963$] на координатную плоскость Oxy (для проекций на Oxz и Oyz используются аналогичные формулы). Следовательно,

В данном случае a = {x, 0, z}. Для поверхности [$963$][sub]1[/sub]: z = (-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]-1)/2 имеем z[sub]x[/sub]' = -x, z[sub]y[/sub]' = -y и поток векторного поля через поверхность [$963$][sub]1[/sub] составит

Для поверхности [$963$][sub]2[/sub]: z = -1 z[sub]x[/sub]' = z[sub]y[/sub]' = 0 и поток векторного поля через поверхность [$963$][sub]2[/sub] составит

Так как проекцией поверхностей [$963$][sub]1[/sub] и [$963$][sub]2[/sub] на плоскость Oxy будет круг D: x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup][$8804$]1, то



2) Циркуляция векторного поля

по замкнутому контуру L численно равна криволинейному интегралу 2-го рода по этому контуру:


3) Согласно формуле Остроградского-Гаусса, поток вектора a через замкнутую поверхность [$963$] равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора, взятому по объёму T, ограниченному поверхностью:

В данном случае