Консультация № 187006
19.12.2012, 23:59
78.80 руб.
20.12.2012, 16:58
0 2 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Даны две случайные величины Х1 и Х2, имеющие плотности вероятности:


Определить третью величину Х3 с плотностью

таким образом, чтобы была минимальной.

Обсуждение

давно
Посетитель
357270
9
20.12.2012, 00:00
общий
Даны 2 случайные величины Х1 и Х2, имеющие плотности вероятности. Определить третью величину Х3 с плотностью f3(x)=(альфа)f1(x)+ßf2(x), таким образом, чтобы D(X) была минимальной.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
20.12.2012, 14:04
общий
это ответ
Здравствуйте, roover!

Исходим из того, что плотность вероятности случайной величины задаётся функцией а случайной величины функцией Тогда плотность вероятности случайной величины задаётся функцией


Между коэффициентами и существует зависимость, являющаяся следствием нормировки плотности вероятности:

или


Находим математическое ожидание случайной величины





Находим дисперсию случайной величины



или, с учётом указанной выше зависимости между коэффициентами,


Продифференцируем найденное для дисперсии выражение по переменной

и, приравняв нулю, решим полученное уравнение:



Но вторая производная дисперсии отрицательна, поэтому найденному значению коэффициента соответствует максимум дисперсии. Найдём значения дисперсии при максимальном и минимальном значениях коэффициента Если то если то

Следовательно, минимум дисперсии достигается при Тогда Полученные значения коэффициентов вместе с выражением для плотности вероятности дают ответ на поставленный вопрос. Как видно случайная величина оказалась тождественно равной случайной величине

Разумеется, Вам следует проверить выкладки. При таком длинном решении ошибки весьма вероятны.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа