Здравствуйте, Марина!

Функция представляет собой сумму чётной и нечётной частей.
// Функция называется чётной, если g(x) = g(-x) и нечётной - если g(-x) = - g(x).

1 - это, в общем, и есть первый член разложения. Разложим x по синусам на интервале (0;1).

Разложение функции f(x)=x+1 по синусам в интервале (0; 1) имеет вид

,
где

Интегрируя по частям получаем

второе слагаемое равно нулю как интеграл косинуса по периоду.
Итак,

Окончательно получаем

Здравствуйте, Марина!



.docx

Здравствуйте, Марина!

Воспользуемся тем, что, согласно [1, с. 189], если функция задана в интервале и кусочно дифференцируема в нём, то её разложение в ряд Фурье по синусам имеет вид

где


В нашем случае функция задана не на интервале а на интервале что не меняет существа дела, поскольку функция становится неопределённой только в начальной и конечной точках отрезка , а это никак не сказывается на интегрировании. Поэтому

Но

следовательно,


Значит, искомое разложение имеет вид

что и даёт ответ на поставленный вопрос.

Литература
1. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2. - СПб.: Политехника, 2003. - 477 с.

С уважением.