Здравствуйте, Шинкаренко Сергей Владимирович.

Здесь надо применять принцип Дирихле. Вероятно, порядок оценок не важен. Тогда имеем варианты
5 4 3
5 5 5
4 4 4
3 3 3
3 3 4
3 3 5
3 4 4
3 5 5
4 4 5
4 5 5
Всего 10 вариантов. Если бы было не больше 4 студентов с одинаковыми оценками, всего было бы не больше 40 студентов.

Здравствуйте, Шинкаренко Сергей Владимирович.

2. Рассмотрим трехзначные числа, порядок следования цифр в которых слева направо соответствует порядку сдачи экзаменов. Например, число 345 обозначает получение оценки «3» на первом экзамене, оценки «4» - на втором экзамене и оценки «5» - на третьем экзамене. Количество трехзначных чисел, которые можно составить из трех цифр, равно N = 3³ = 27. Следовательно, число различных результатов сдачи сессии равно 27. Если каждый из этих способов считать равновероятным, в группе из 47 человек может не оказаться пяти студентов, сдавших экзамены с одинаковыми результатами.

Будем тогда считать, что «одинаковые оценки» на экзаменах означают равенство их сумм по результатам трех экзаменов. Например, результат 345 равен результату 435 (в сумме 12 баллов) и т. д. Тогда число различных оценок (сумм) равно числу *С₃³ различных сочетаний из трех элементов по три с повторениями:
N = *С₃³ = C_{3 + 3 – 1}³ = C₅³ = 5!/(3! • 2!) = 10. Следовательно, число различных результатов сдачи сессии равно 10. Чем больше число различных результатов, тем меньше число студентов, имеющих этот результат. Среднее число студентов, имеющих конкретный результат, равно 47/10 = 4,7. Поэтому непременно найдется такой результат, с которым сдали сессию не менее, чем пять студентов.

С уважением.