Приветствую Вас, Наташа! Во-первых, определитесь на каких условиях Вы работаете. Если Вы получаете зарплату в конверте, т.е. из "черного" нала организации, то в случае требования оформить Вас легально, Вы можете потерять зарплату. Если же Вы все-таки хотите быть оформлены, чтобы за Вас платили все налоги, то Вы можете подать в суд, который обяжет организацию оформить с Вами трудовой договор, выплатить за все время зарплату, заплатить все налоги и штрафы. Подтвердить, судя по всему, что Вы работали в организации будет просто: нужны показания сотрудников, которые подтвердят, что Вы каждый день ходили, у Вас есть рабочее место, Вы ставили свою подпись под документами и т.д. С другой стороны, Вы ведь могли сами платить взносы, например, в Пенсионный фонд.
Постарайтесь уговорить начальство, чтобы Вас оформили в штат, платитли за Вас налоги и сделали запись в трудовую книжку, а то получается, что Вы лишены всех льгот, не дай бог, какая-то травма, а как Вам оплачивают больничный?
Попытайтесь оформить свои трудовые отношения в виде договора, желательно, чтобы это был трудовой договор, но если Вам предложат договор-подряд, а функции останутся те же, то Вы сможете через суд доказать, что на самом деле заключен был договор трудовой. Желаю удачи в отстаивании своего права на труд легальный.

Приветствую Вас, Наташа!
Посоветовать что-то сложно, т.к. Вы прекрасно и сами понимаете, что если идти на конфликт с руководством, Вы потеряете эту работу. Если оставлять все как есть, впереди-неопределенность. Старайтесь, конечно, "уговорить" начальство.
В то же время, Вы имеете право сами исчислять свои пенсионные взносы и перечислять их в Пенсионный фонд.
С уважением, Eviran.