Здравствуйте, IIISergeyIII!

Рассмотрим заданную рекуррентно последовательность

Первый член этой последовательности равен а каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на и вычитанием Выпишем несколько первых членов этой последовательности:






Рассматривая конечную последовательность

числителей полученных дробей, установим, что она описывается формулой

Поэтому формула -го члена заданной последовательности имеет вид

Но такой вывод нуждается в более строгом обосновании, потому что мы не можем с уверенностью утверждать, что полученная закономерность распространяется на все члены заданной последовательности.

Чтобы выполнить такое обоснование, поступим следующим образом:




Подберём число так, чтобы было Тогда последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем то есть







Получили ту же формулу, но более строгим путём.