Консультации Портала - Консультация #185408

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 185408

10.02.2012, 11:13

75.68 руб.

10.02.2012, 16:53

0 17 2

Образование

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Методом операционного исчисления найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

Обсуждение

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 11:39

общий

10.02.2012, 16:51

Вы правильно написали условие задачи? Не должно ли в левой части равенства быть 4y вместо числа 4?

Об авторе:
Facta loquuntur.

Неизвестный

10.02.2012, 15:35

общий

11.02.2012, 17:17

это ответ

Здравствуйте, Дмитрий Сергеевич!

y’’+4y+4=t-2 y(0)=0 y’(0)=1

Сначала переходим к изображениям от оригиналов
p^2*Y(p)-p*y(0)-y'(0)+4*Y(p)=1/p^2 -6/p

Делаем простейшие преобразования и подставляем известные начальные условия
Y(p)*(p^2+4)=1/p2 -6/p+1

Нужно чтобы Y(p) остался один в левой части уравнения поэтому делим на (p^2)+4p
Y(p)=1/(p^2)*(p^2+4))-6/(p*(p^2+4))+1/(p^2+4)

На более простые дроби получим:
Y(p)=1/4*(p^2+4))-3*p/(2*(p^2+4))+1/(p^2+4)+1/(4*p^2)-3/(2*p)
Переход к оригиналам:
y(t)=3*(sin(2*t))/8+t/4-3/2+3*cos(2*t)/2

Получена конечная зависимость от t.

Неизвестный

10.02.2012, 15:39

общий

10.02.2012, 15:44

Адресаты:

Извиняюсь, я ошибся там второе слагаемое 4y без штриха, т.е

Правда тогда не совсем понятны два свободных члена в обеих частях, возможно в условии ошибка. В любом случае спасибо.

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 16:01

общий

Вы явно поспешили: автор вопроса дал пояснение в мини-форуме. И почему у Вас числу 4 в начале решения соответствует изображение -4/p.

Об авторе:
Facta loquuntur.

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 16:02

общий

10.02.2012, 16:03

Что будем делать с задачей? Может быть, уточните условие в окончательном виде? Возможно, справа должно быть t^-2?

Об авторе:
Facta loquuntur.

Неизвестный

10.02.2012, 16:05

общий

Адресаты:

Ну я собственно и уточнил, штрих надо убрать у второго слагаемого в уравнении. Окончательный вид уравнения в моем предыдущем сообщении.

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 17:44

общий

это ответ

Здравствуйте, Дмитрий Сергеевич!

Пусть

как Вы настояли в мини-форуме консультации. Тогда исходное уравнение можно переписать так:

Перейдём к изображениям:

откуда находим

Разложим дробь, стоящую в правой части полученного выражения, на прстейшие:

Получили систему уравнений

после решения которой находим

Переходя к оригиналам, получим

С уважением.

Об авторе:
Facta loquuntur.

Неизвестный

10.02.2012, 18:48

общий

Адресаты:

Спасибо Вам, огромное!

Неизвестный

10.02.2012, 19:11

общий

Адресаты:

Вы случайно поменяли местами коэффициенты

при подстановке в

.

Должно быть:

При переходе к оригиналам:

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 19:30

общий

Вы правы. Исправлю.

Об авторе:
Facta loquuntur.

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

10.02.2012, 19:36

общий

10.02.2012, 19:37

Обратите, пожалуйста, внимание на внесённое мной исправление:

Получили систему уравнений
...
после решения которой находим
...

Переходя к оригиналам, получим

Об авторе:
Facta loquuntur.

Неизвестный

10.02.2012, 20:47

общий

Ёще раз здравствуйте, Дмитрий Сергеевич! ( переделка с учетом исправления начальных условий )

y’’+4y+4=t-2 y(0)=0 y’(0)=1

Сначала переходим к изображениям от оригиналов
p^2*Y(p)-p*y(0)-y'(0)+4*Y(p)=1/p^2 -6/p

Делаем простейшие преобразования и подставляем известные начальные условия
Y(p)*(p^2+4)=1/p2 -6/p+1

Нужно чтобы Y(p) остался один в левой части уравнения поэтому делим на (p^2)+4p
Y(p)=1/(p^2)*(p^2+4))-6/(p*(p^2+4))+1/(p^2+4)

Находим оригиналы для данных изображении и получаем зависимость y(t)

Переход от полученных изображений к оригиналам
1/(p^2+4)=(sin(2*t))/2
-6/(p*(p^2+4) )=-(3*sin(2*t))
1/((p^2)*(p^2+4) )=(t*sin(2*t))/2

Итого
y(t)=((sin(2*t))*(t-5))/2

Получена конечная зависимость от t.

Неизвестный

10.02.2012, 21:02

общий

Элементарная проверка в Mathcad показала, что ответ ваш совсем неверный.

Неизвестный

10.02.2012, 21:43

общий

Окей при разложении этого:
Y(p)=1/(p^2)*(p^2+4))-6/(p*(p^2+4))+1/(p^2+4)
На более простые дроби получим:
Y(p)=1/4*(p^2+4))-3*p/(2*(p^2+4))+1/(p^2+4)+1/(4*p^2)-3/(2*p)
Переход к оригиналам:
y(t)=3*(sin(2*t))/8+t/4-3/2+3*cos(2*t)/2

давно

Лысков Игорь Витальевич

Посетитель
7438
7205

11.02.2012, 03:11

общий

Дайте окончательное правильное решение.
Иначе придется удалить...

Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Неизвестный

11.02.2012, 10:10

общий

11.02.2012, 13:21

Исправленное решение:

y’’+4y+4=t-2 y(0)=0 y’(0)=1

Сначала переходим к изображениям от оригиналов
p^2*Y(p)-p*y(0)-y'(0)+4*Y(p)=1/p^2 -6/p

Делаем простейшие преобразования и подставляем известные начальные условия
Y(p)*(p^2+4)=1/p2 -6/p+1

Нужно чтобы Y(p) остался один в левой части уравнения поэтому делим на (p^2)+4p
Y(p)=1/(p^2)*(p^2+4))-6/(p*(p^2+4))+1/(p^2+4)

На более простые дроби получим:
Y(p)=1/4*(p^2+4))-3*p/(2*(p^2+4))+1/(p^2+4)+1/(4*p^2)-3/(2*p)
Переход к оригиналам:
y(t)=3*(sin(2*t))/8+t/4-3/2+3*cos(2*t)/2

Получена конечная зависимость от t.

Неизвестный

11.02.2012, 13:22

общий

Адресаты:

исправлено. по запарке в предыдущем посте не указал, что это ответ, сорри...

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.