Здравствуйте, bestwick!
В полярной системе координат длина дуги L, заданная уравнением [$961$]=[$961$]([$966$]) и ограниченная лучами [$966$]=[$945$] и
[$966$]=[$946$], равна

В нашем случае [$961$]'=ae^a[$966$]. Тогда [$961$]²+[$961$]'²=e^2a[$966$](1+a²).
Найдем пределы интеграла из условия [$961$]=e^a[$966$]=1. Отсюда видно, что это соотношение выполяется при [$966$]=0. Если a>0, то увеличение [$966$] увеличивает полярный радиус и он всегда будет больше 1. Значит внутри круга радиуса 1 будет та часть логарифмической спирали, которая соответствует
[$966$][$8712$][-[$8734$],0]. Таким образом получаем

Если a<0, то при увеличении [$966$] полярный радиус будет уменьшаться. Значит внутри круга радиуса 1 будет та часть логарифмической спирали, которая соответствует [$966$][$8712$][0,[$8734$]]. Теперь получим

Ответ:

Здравствуйте, bestwick!

Думаю, что задачу можно решить так.

Если кривая задана уравнением в полярных координатах
[$961$] = [$961$]([$966$]), [$945$] [$8804$] [$966$] [$8804$] [$946$],
то длина дуги кривой вычисляется по формуле


Положим a > 0. Найдём нижний предел интегрирования. Для этого воспользуемся тем, что при [$966$] = [$945$] выполняется равенство

или
a[$945$] = -[$8734$],
[$945$] = -[$8734$].
Найдём верхний предел интегрирования [$946$]. Для этого воспользуемся тем, что при [$966$] = [$946$] выполняется равенство

или
a[$946$] = 0,
[$946$] = 0.
Следовательно, [$945$] = -[$8734$], [$946$] = 0.

Так как




то


При a < 0 спираль будет закручиваться в обратном направлении, её радиус будет уменьшаться по мере приближения к полюсу. Понятно, что на длину спирали это не влияет. Чтобы длина спирали имела положительное значение, независимо от значения праметра a, ответ можно записать так:



С уважением.