Здравствуйте, Петр!

У Вас много ошибок в ответе.

Здравствуйте, Валерия!
1) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке надо:
а) найти ее значения на концах этого отрезка (т. е. числа y(-2) и y(2)):
y(2) = (2+3)/(2^2+7) = 5/11;
у(-2) = (-2+3)/((-2)^2+7) = 1/11;

б) найти ее значения в точках, где производная функции равна нулю:
y' = [ (x+3)/(x^2+7) ]' = [ (x+3)'(x^2+7) - (x+3)(x^2+7)' ] / (x^2+7)^2 = (-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2);
(-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2) = 0;
-x^2-6x+7 = 0;
x = -1, x = 1 - точки, в которых производная равна нулю;

x= -7 , x=1
x= -7 не принадлежит отрезку [-2;2]

y(1) = (1+3)/(1^2+7) = 4/9=4/8=1/2;
y(-1) = (-1+3)/((-1)^2+7) = 2/9=1/4;

в) найти ее значения в точках, где функция не имеет производной;
y' = (-x^2-6x+7)/((x^2+7)^2);
(x^2+7)^2 = 0;
x = ± i√7 (точки не попадают в отрезок, т. к. |x| = √7 = ±2.64)
г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее:
Наименьшее значение функции y на отрезке [-2;2] min(y) = 1/11;
Наибольшее значение функции у на отрезке [-2;2] max(y) = 5/9=1/2.

2) Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график: y=(1-2x^3)/2x^2.
Алгоритм исследования функции:
а) найти область определения функции;
б) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
в) найти асимптоты;
г) найти точки возможного экстремума;
д) найти критические точки;
е) с помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба;
ж) построить график, учитывая исследование, проведенное в п.а)-е).

а) Область определения функции.
Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=0;

б) Точки пересечения графика функции с осями координат.
Ох: уравнение 1-2x^3 = 0 имеет один вещественный корень x=1/(2^(1/3)), => точка пересечения с Ох: (1/(2^(1/3)), 0);
Oy: значение уравнения (1-2x^3)/2x^2 при х=0 не определено, поэтому пересечения с осью Оу не будет;

в) Асимптоты:
Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=0. Так как y → 0 при х → -∞, у → +∞ при х → 0, то прямая x=0 является вертикальной асимптотой графика функции.
Если х → +∞(x → -∞), то у → 0; следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции.
k=lim_x->[$8734$] y(x)/x=lim_x->[$8734$] (1/(2*x³)-1)=-1

b=lim_x->[$8734$] (y(x)-k*x)=lim_x->[$8734$] (1/(2*x²)-x+x)=0

y= -x - наклонная асимптота

г) Точки возможного экстремума.
Из существования пределов
k = lim [х → +∞(x → -∞)] f(x)/x = lim [х → +∞(x → -∞)] (1-2x^3)/2x^3 = -1;
lim [х → +∞(x → -∞)] (f(x) - kx) = lim [х → +∞(x → -∞)] ((1-2x^3)/2x^2 +x) = 0;
Находим производную и приравниваем к нулю:
y' = [ (1-2x^3)/2x^2 ]' = - (x^3+1)/x^3 = 0;
x^3 = -1, вещественных корней нет, значит, точек возможного экстремума нет (кроме точки х=0).
вещественный корень один: x= -1

д) Критические точки.
Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
y'' = (y')' = { [ (1-2x^3)/2x^2 ]' }' = { -(x^3+1)/x^3 }' = 1/x^3=3/x⁴.
Так как y'' в нуль не обращается, то критических точек нет.


Вы можете внести исправления в мини-форуме и попросить Администратора Рассылки вставить исправления в ответ.

Да уж, будьте так добры, испавьте.
И предоставьте график. Можете поместить на наш сервер (кнопочка мои файлы) и дать ссылочку

Хотелось бы поправить и здесь:
в) Асимптоты:
... Так как y → 0 -x при х → +-∞, у → +∞ при х → 0, то прямая x=0 является вертикальной асимптотой графика функции .
Если х → +∞(x → -∞), то у →0; следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции.
, а прямая y=-x - наклонной асимптотой графика функции.

Непонятно, зачем это:
"Из существования пределов
k = lim [х → +∞(x → -∞)] f(x)/x = lim [х → +∞(x → -∞)] (1-2x^3)/2x^3 = -1;
lim [х → +∞(x → -∞)] (f(x) - kx) = lim [х → +∞(x → -∞)] ((1-2x^3)/2x^2 +x) = 0;"

На всякий случай, Игорь Витальевич, обращаю Ваше внимание, что пока ещё не поправлена формула в конце:

д) Критические точки.
Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
y'' = (y')' = { [ (1-2x^3)/2x^2 ]' }' = { -(x^3+1)/x^3 }' = {-1- 1/x^3}' = 3/x^4.

Это ничего в выводах не меняет, но все-таки выглядит как ошибка.

И еще я бы выражение
k = limx→∞y(x)/x = limx→∞(1-2x2)/2x2 = -1
b = limx→∞y(x) - k*x = limx→∞1/2x2 = 0
y = -x - наклонная ассимптота

изменил так:
y = -x - наклонная асимптота, линия y=kx+b с параметрами
k = limx→∞ y(x)/x = limx→∞ (1-2x^3)/2x^3 = -1
b = limx→∞ y(x) - k*x = limx→∞ 1/2x^2 = 0