Здравствуйте, STASSY.

Т.к. сфера вписана в параллелепипед, должно выполняться свойство равновеликости граней.
В параллелепипед можно вписать сферу т. и т. т., когда все его грани равновелики.



опустим из вершины A₁ высоты боковых граней
Треугольники A₁KA и A₁LA - равны (AA₁- общая сторона, [$8736$]A₁AD=[$8736$]A₁AB, оба треугольника - прямоугольные)
Следовательно A₁K=A₁L=h
AK=AL
По свойству равновеликости граней получим:
S_ABCD=S_A1ABB1=S_A1ADD1 или
AB*AC=AD*A₁K=AB*A₁L=AD*h=AB*h
AB=AC=h=5*[$8730$]6
Опустим перпендикуляр H=A₁P к ABCD, он будет являться высотой параллелепипеда и равен диаметру вписанной сферы (12)
из равенства треугольников A₁PL и A₁PK (прямоугольные, A₁P- общая, A₁K=A₁L)
PK=PL
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что проекция перепендикуляра (высоты) к прямой, перепедикулярна этой прямой.
PK - проекция A₁K
PL - проекция A₁L
тогда AKPL - прямоугольник и PK=PL и AK=AL, значит AKPL - квадрат
PL=[$8730$](h²-H²)=[$8730$]6=PK=AK=AL
AP=[$8730$]12=2*[$8730$]3
AA₁=[$8730$](12*13)=2*[$8730$]39
cos[$945$]=AP/AA₁=1/[$8730$]13=[$8730$]13/13

Центром вписанной сферы является центр симметрии параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.
Причем диагонали параллелепипеда при пересечении делятся пополам.
AO=AC₁/2
Из точки C₁ опустим перпендикуляр C₁N на плоскость основания.
Прямоугольные треугольники AAP и CCN равны, следовательно
AN=AC+CN=AC+AP=10*[$8730$]3+2*[$8730$]3=12*[$8730$]3
C₁N=H=12
d=AC₁=24
AO=d/2=12

Можно ввести декартовы координаты и вычислить центр сферы и длину AO.
Например
A(0, 0, 0),B(5*[$8730$]6, 0, 0),C(5*[$8730$]6, 5*[$8730$]6, 0),D( 0, 5*[$8730$]6, 0)
A₁([$8730$]6, [$8730$]6, 12),B₁(6*[$8730$]6, [$8730$]6, 12)
C₁(6*[$8730$]6, 6*[$8730$]6, 12),D₁([$8730$]6, 6*[$8730$]6, 12)

Возможно есть более простое решение.