Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 177847
14.04.2010, 22:24
40.41 руб.
0 2 1
Образование
Здравствуйте Уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с рёбрами АВ=6+2^1/2, AD=6-2^1/2 и AA1=6 расположены две сферы: первая касается граней ABCD, ABB1A1, ADD1A1; вторая сфера, радиус которой в 2 раза больше радиуса первой, касается первой сферы и касается граней C1CBB1, C1B1A1D1, C1CDD1. Найдите радиусы этих сфер.

Обсуждение

Неизвестный
15.04.2010, 14:02
общий
это ответ
Здравствуйте, STASSY.



O1 - центр сферы радиуса r
O2 - центр сферы радиуса 2*r
Т.к. сферы касаются, то отрезок O1O2=3*r
Построим параллелепипед, используя отрезок O1O2 как диагональ, с ребрами параллельными ребрам исходного параллелепипеда (a - AB, b - AD , c - AA1)
Т.к. исходный параллелепипед прямоугольный и сферы касаются противолежащих граней, то
a=AB-r-2*r=6+[$8730$]2-3*r
b=6-[$8730$]2-3*r
c=6-3*r
диагональ O1O2=[$8730$](a2+b2+c2)
Получим
(6+[$8730$]2-3*r)2+(6-[$8730$]2-3*r)2+(6-3*r)2=(3*r)2
Квадратное уравнение относительно r
Корни: r=14/3 и r=4/3
Первый корень не подходит: a=6+[$8730$]2-3*(14/3) < 0
r=4/3 и 2*r=8/3
(Сфера радиуса 2*r выступает за пределы параллелепипеда)

Ответ: 4/3 и 8/3
5
Неизвестный
15.04.2010, 17:06
общий
Здравствуйте!
введя Декартову систему координат, где центры сфер
О1(R,R,R)
O2(a-2R,b-2R,c-2R)
(а, b и с ребра исходного параллелепипеда).

Из формулы расстояния между точками
dist(O1,O2)=sqrt((a-2R-R)^2 +(b-2R-R)^2 +(c-2R-R)^2))=3R
(a-3R)^2+(b-3R)^2+(с-3R)=9R^2 далее аналогично
R=4/3 (при 14/3 центр второй сферы покидает параллелепипед)
Форма ответа