Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 60718
30.10.2006, 19:53
0.00 руб.
0 4 2
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты!Помогите ,пожалуйста, справится с данной задачей:Система из двух одинаковых стержней массой m и длиной b,соединенных в виде буквы Т может вращатся вокруг закрепленной гор.оси.Систему приводят в состояние неустойчивого равновесия(поднимают над осью) и сообщают центру масс горизонтально направленную скорость V0.Определить момент импульса системы при прохождении ей положения уст.равновесия.Заранее спасибо!

Обсуждение

Неизвестный
02.11.2006, 12:52
общий
это ответ
Здравствуйте, Secret
Насколько помню, момент импульса системы равен произведению момента инерции системы на угловую скорость<omega>:
L=I <omega>.
Для одного стержня I1 = (1/12) m b^2.
Для двух стержней центр масс будет находится на расстоянии 1/4 b от места их пересечения (посредине между их центрами масс).
Момент инерции для центра масс системы равен
Ic = (I1 + m (b/4)^2) + (I1 + m (b/4)^2), где первое слагаемое в скобках - момент инерции стержня, а второе - изменение момента инерции из-за сдвига центра масс.
Если закрепить данную систему на горизонтальной оси за низ буквы Т, то момент инерции такой системы будет равен
I = Ic + m (b 3/4)^2 = 2 I1 + m (b^2) /8+ m (b^2) 9/16 = 2 I1 + (11/16) m b^2 = m b^2 (1/6+11/16) = m b^2 41/48.
Поскольку связь между угловой и линейной скоростью имеет вид
V = <omega> R, где R -расстояние до центра мас, то в нашей задаче
<omega> = V/(3b/4) = 4V/(3b)
L = 4 V / (3 b) * m b^2 (41/48) = V m b 41/36
В арифметике не совсем уверен, на всякий случай - перепроверь всё от формул до расчетов.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
02.11.2006, 16:16
общий
это ответ
Здравствуйте, Secret!

Решение задачи - на мини-форуме.

Проверьте, пожалуйста, самостоятельно все выкладки.

С уважением,
Mr. Andy.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
02.11.2006, 16:18
общий
Решение.Пусть стержни сориентированы так, что образуют букву T. Находим положение центра масс системы. Для этого поместим начало координат в свободный конец вертикального стержня. Ось Y направим вверх. Ось X (ось вращения) – вправо. Из соображений симметрии ясно, что абсцисса центра масс равна нулю. Для нахождения ординаты воспользуемся формулой YC=(m1*y1+m2*y2)/(m1+m2), где YC – ордината центра масс системы, y1 и y2 – ординаты вертикального и горизонтального стержней, m1 и m2 – массы вертикального и горизонтального стержней (m1=m2=m).ПолучаемYC=(m*b/2+m*b)/(2*m)=3*b/4.Момент инерции J1 вертикального стержня находим по формуле (6) [1, с. 267]:J1=(m*b^2)/3.Момент инерции горизонтального стержня относительно его центральной оси, расположенной горизонтально, равен нулю. Тогда по теореме Гюйгенса момент инерции J2 горизонтального стержня относительно оси вращения определяется по формулеJ2=m*b^2.Находим момент инерции системы относительно оси вращения. Он равен сумме моментов инерции стержней относительно той же оси:J=J1+J2=(m*b^2)/3+ m*b^2=(4/3)*m*b^2.Если принять потенциальную энергию системы в положении устойчивого равновесия за нуль, то в положении неустойчивого равновесия её потенциальная энергия равнаWp=2*m*g*2*(3*b/4)=3*b*m*g.При переходе системы из положения неустойчивого равновесия в положение устойчивого равновесия, согласно закону сохранения энергии, убыль потенциальной энергии равна приращению кинетической энергии, т. е.3*b*m*g=(m*V^2)/2-(m*V0^2)/2, откуда находим скорость V центра масс системы в положении устойчивого равновесия:V=√(V0^2+6*b*g).Угловая скорость Ω системы в положении устойчивого равновесияΩ=V*YC=(3*b/4)*√(V0^2+6*b*g),а момент импульсяL=J* Ω=(4/3)*m*b^2*(3*b/4)*√(V0^2+6*b*g)=m*b^3*√(V0^2+6*b*g).Ответ: L= m*b^3*√(V0^2+6*b*g).Литература: 1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М., Высшая школа, 1986.Случай перевёрнутой буквы Т рассмотрите самостоятельно.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
03.11.2006, 08:53
общий
Приношу извинения за арифметическую ошибку. Должно быть:Wp=m*g*2*(3*b/4)=(3/2)*b*m*g;(3/2)*b*m*g=(m*V^2)/2-(m*V0^2)/2, откудаV=√(V0^2+3*b*g);Ω=V*YC=(3*b/4)*√(V0^2+3*b*g);L=J*Ω=(4/3)*m*b^2*(3*b/4)*√(V0^2+3*b*g)=m*b^3*√(V0^2+3*b*g);Ответ: L= m*b^3*√(V0^2+3*b*g).
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа