Здравствуйте, Galka!
1. Рассматриваете все варианты остатка от деления на 6 и убеждаетесь, что так оно и есть. Проще вычислять для x^3 - x (оно отличается от x^3 + 11x на 12x, которое на 6 делиться всегда)
2. Пересечение диагоналей образует крест. Обозначим его плечи как a, b, c, d, а угол между диагоналями как z.
X1 = sin(z)*a*b/2
X2 = sin(z)*c*d/2
X3 = sin(pi-z)*a*c/2
X4 = sin(pi-z)*b*d/2
Из тригонометрии sin(z) = sin(pi-z), тогда X1*x2 = X3*X4
Далее, легко заметить, что, например, [(X1+X3)/(X2+X4)]^2 = (X1*X3)/(X2*X4)
Не гарантирую, что легко будет посчитать отсюда X3 и X4, но, возможно, это как-то вам поможет.
3. 0^3=(a+b+c)^3=
=aaa+bbb+ccc+3aab+3abb+3aac+3acc+3bbc+3bcc+6abc=
=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc=
=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b+c)+3ac(a+b+c)+3bc(a+b+c) - 3abc=
=a^3+b^3+c^3 - 3abc=0 => a^3+b^3+c^3 = 3abc, ч.т.д.

Здравствуйте, Galka!
Решения задачи 1 - в приложении, задач 2, 3 - в мини-форуме.
С уважением,
Mr. Andy.


Приложение:
Решение задачи 1.Число (х+1)(х+2)(х+3)=х^3+6x^2+11x+6 делится нацело на 6 при любом натуральном х как произведение трёх последовательных натуральных чисел.Разность х^3+11x-(x+1)(x+2)(x+3)=6x^2+6=6(x^2+1) содержит в своём разложении множитель 6 и, следовательно, делится нацело на 6.А поскольку в рассмотренной разности сама разность и вычитаемое делятся нацело на 6, то и данное уменьшаемое х^3+11x делится нацело на 6.