Консультация № 56346
22.09.2006, 13:10
0.00 руб.
0 7 2
Уважаемые Эксперты!

Вот такая задачка.
Найти центр масс полушара (однородного). Если полный шар имеет радиус R. Желательно без интегралов.

Заранее спасибо.

Обсуждение

Неизвестный
22.09.2006, 13:24
общий
это ответ
Здравствуйте, Golden Spider!
Я бы эту задачку так решал:

- первое: центр масс такой фигуры в любом случае будет на центральной оси, проходящей перпендикулярно "срезу" полушара, т.к. осевая симметрия сохраняется;

- второе: сечем полушар плоскостью, параллельной "срезу", на некоей высоте h от "среза"; осталось выразить объемы (а значит и массы) разрезанных половинок, в зависимости от выбранного h и найти такое его значение, чтобы эти массы совпадали.

P.S. Формулу вычисления объема шарового сегмента Вы уж сами посмотрите. Нету под рукой...
Неизвестный
22.09.2006, 15:38
общий
Даже если бы и так: посмотреть формулу объема шарового сегмента (хотя она все равно через интегралы получается) и объявить ее общеизвестной, то все, вроде, хорошо.Но на самом деле если посечь плоскостью, то центр масс шара будет точно посередине <u>между центрами масс</u> этих двух половинок, а вовсе не на срезе. А координаты центров масс половинок нам все равно неизвестны.Так что, по-моему, без интегралов нельзя. А вот центральную симметрию применить можно и нужно.Там еще pi в обоих интегралах есть, но я ее выкинул =) И R положил равным единице. Потом ответ просто домножим на Rm/pi = int[0; 1](1-x^2)dx = x - x^3/3 | [0; 1] = 2/3<m∙x>/pi = int[0; 1]x(1-x^2)dx = x^2/2 - x^4/4 | [0; 1] = 1/4<x> = <m∙x> / m = 3/8 (от радиуса шара)Ответ: h = 3R/8
Неизвестный
22.09.2006, 23:37
общий
это ответ
Здравствуйте, Golden Spider!
Ну, во первых не щарового сектора, а шарового слоя, а во-вторых эти формулы все равно выводятся через интеграл.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
23.09.2006, 10:00
общий
Решить задачу можно без применения интегралов. Её решение приводится, по-моему, в учебнике по АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 9-10 классов, автор А. Н. КОЛМОГОРОВ.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
23.09.2006, 16:14
общий
Вы прям как в анекдоте, когда математик проснулся, увидел пожар, увидел огнетушитель, сказал: "Решение существует!" и дальше лег спать ;-)Например, по <a href=www.oglibrary.ru/data/demo/3151/31510328.html>этой ссылке</a> лежит, судя по всему решение "по-Колмогоровски". И хотя все формулы там поплыли и превратились непонятно во что (видимо, из pdf плохо вставили), очевидно, что хоть слово интеграл и не говориться, но интегрирование в неявном виде используется.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
24.09.2006, 10:22
общий
Здравствуйте, Кирилл Владимирович!Для решения задачи можно использовать суммирование бесконечно малых в предельном переходе. Получится искомая дробь. Кроме того, можно не искать центр тяжести полушара, а найти центр тяжести полукруга (ведь полушар получается при вращении полукруга на п). Но если пытаться найти площадь кругового сегмента как разность площадей кругового сектора и треугольника, образованного радиусами и хордой, то получается трансцедентное уравнение а - sin а=п/4. И согласитесь, что если задающий вопрос человек не хочет воспользоваться традиционным приёмом нахождения некоторой величины, то указание на источник другого решения - тоже подспорье.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
24.09.2006, 18:27
общий
Спасибо Всем. Осебенно тем кто не поленился пообсуждать данную проблему.Кстати оказалось что 3/8 является табличной величиной... :)
Форма ответа